Question

两道高数积分题~~

第一道：

第二道：





Answer 1

∫ (0,π )dx∫(x^(1/2), π ^(1/2)) (siny^2)/ydy

D：xE(0,π )       yEx^(1/2), π ^(1/2)) 

 

看成对x形，则D:0<=y<=根号π      0<=x<=y^2

原式=

∫ (0,根号π )dy∫(0, y^2) (siny^2)/ydx

=∫ (0,根号π )(y^2-0)*siny^2/y*dy

=∫ (0,根号π )y*siny^2*dy

=1/2∫ (0,根号π )siny^2*dy^2

=-1/2[cosy^2] (0,根π )

=1/2[cos0-cosπ ]

=1/2*2

=1

Answer 2

第1题，面积=∫x^2dx+∫(x^2-2x+1)dx （第一个积分限0到1/2，第二个1/2到1）=1/12。体积=抛物线所围体积-圆锥体积=∫π(x^2)^2dx-(1/3)*(1/2)*π*1^2 （积分限0到1）=π/30
第2题，根据积分限可以看出此二重积分的积分区域D为y^2=x，x=π所围区域，先对x积分，则I=∫dy∫siny^2dx/y（x积分限y^2到π，y积分限-√π到√π），由于积分区域关于x轴对称，而被积函数siny^2/y是关于y的奇函数，所以该二重积分=0

追问

很感谢，第一题懂了，第二题的结果答案上是写的1额~

追答

你的y的积分限是什么，好像你写的上下限都是根号x，我是按下限-根号x做的，你再看看原题的y积分限是什么

追问

下限是根号x，上限是根号π

追答

好吧。。。我看错了。积分区域D为y^2=x，y=√π，y轴所围区域，先对x积分，则I=∫dy∫siny^2dx/y（x积分限0到y^2，y积分限0到√π）,∫siny^2dx/y=ysiny^2，I=∫ysiny^2dy=(1/2)siny^2dy^2==-cosy^2/2=1

追问

∫siny^2dx/y=ysiny^2，这一步怎么感觉不对呢

追答

怎么不对，对x积分siny^2/y看做常数拿到积分号外，∫siny^2dx/y=(siny^2/y)∫dx，把x积分限代入即可。

Answer 3

• 没法先化为对x积分

• 后面积分不算出来

• 不知y x的函数关系

Answer 4

平面面积1/12，体积是21π/160