Question

已知在平面直角坐标系中，点A（4,0）、B（-3,0），点C在Y轴正半轴上，且tan角CAO=1，点Q是线段AB上的动点

过Q作QE∥AC交BC于点E。若点P是线段AC上的点，是否存在这样的点P，使△PQE成为等腰直角三角形。若存在，试求出所有符合条件的点P坐标。

Answer 1

C点坐标为(0,4),AC所在直线为y=4-x CB所在直线为y=4(x+3)/3,
设Q点坐标为(q,0),其中q∈[-3,4],则EQ所在直线为y=q-x,可得E点坐标为(q-4/3,4/3)
设P点坐标为(p,4-p) 其中p∈[0,4],
可得PQ²=(p-q)²+(4-p)² PE²=(p-q+4/3)²+(4-p-4/3)² QE²=(4/3)²+(4/3)²=32/9
△PQE成为等腰直角三角形
(1)PQ为斜边，则有 PE²=QE² PQ²=2QE² 的可得到(p-q+4/3)²+(4-p-4/3)²=32/9
(p-q)²+(4-p)²=64/9 可解得{p = 4/3, q = 4/3}或 {p = 4, q = 20/3}
其中q=20/3与q∈[-3,4]的范围不符 所以{p = 4/3, q = 4/3}
对应P点坐标为(4/3,8/3) Q点坐标为(4/3,0)
(2)PE为斜边 则有 PQ²=QE² PE²=2QE² 即 (p-q)²+(4-p)² =32/9 (p-q+4/3)²+(4-p-4/3)² =64/9
可解得{p = 8/3, q = 4/3}对应P点坐标为(8/3,4/3) Q点坐标为(4/3,0)

(3)QE为斜边则有 PQ²=QE²/2 PE²=QE²/2 即 (p-q)²+(4-p)² =16/9 (p-q+4/3)²+(4-p-4/3)² =16/9
可解得{p = 8/3, q = 8/3}对应P点坐标为(8/3,4/3) Q点坐标为(8/3,0)

所有符合条件的点P坐标为(4/3,8/3)和(8/3,4/3)

追问

其中q∈[-3,4], 这是？

追答

q属于区间-3到4，即-3≤q≤4

追问

可得E点坐标为(q-4/3,4/3) 这个错了吧？纵坐标一定？