Question

已知抛物线l:y=x^2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交与且与y轴交与点A，如图设它的顶点为B点A

，如图设它的顶点为B（1）求M的值（2）过A做x轴的平行线，交抛物线于点C，求△ABC是等腰直角三角形（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线l'，且与x轴的左半轴交与E点，与x轴交与F点，如图请在抛物线l'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形

Answer 1

答：
（1）显然抛物线y=x^2-2x+m-1开口向上，与x轴仅有一个交点，说明方程：x^2-2x+m-1=0
仅有一个解，△=（-2）^2-4*1*(m-1)=0,所以m=2.

（2）抛物线y=x^2-2x+1=（x-1）^2
所以顶点B（1,0），交与y轴A点（0,1）
所作x轴的平行线为y=1，与抛物线的另外一个交点C（2,1）
BA=√2=BC，AC=2
AC^2=BA^2+BC^2
故△ABC是等腰直角三角形

（3）y=（x-1）^2向下平移4个单位得到抛物线I'：y+4=（x-1）^2，y=（x-1）^2-4
与x轴的交点为E（-1,0），F（3,0），设点P（m，m^2-2m-3).
△EFP为直角三角形，则有：EP⊥FP

故EP的斜率与FP的斜率乘积为-1：
{（m^2-2m-3-0）/[m-(-1)]}*[(m^2-2m-3-0)/(m-3)]=-1

整理得：m^2-2m-2=0
所以m=1±√3
所以点P为（1+√3，-1)或者（1-√3，-1）

Answer 2

解：（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC= 2 ．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB= 2 ．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；
（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．
∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，
则P1M / EM =OE / OF =1 / 3
即EM=3P1M．
∵EM=x1+1，P1M=y1，
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，
则有3（x12-2x1-3）=x1+1，
整理得，3x12-7x1-10=0，解得，
x1=-1（舍）或x1=10 /3
把x1=10 /3
代入①中可解得，
y1=13 /9
∴P1（10 /3 ，13 / 9 ）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，
得FN /P2N =OE / OF =1 / 3 ，即P2N=3FN．
∵P2N=x2，FN=3+y2，
∴x2=3（3+y2）②
由于P2（x2，y2）在抛物线C′上，
则有x2=3（3+x22-2x2-3），
整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2=7 /3 ．
把x2=7 /3 代入②中可解得，
y2=-20/ 9 ．
∴P2（7 /3 ，-20 / 9 ）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（10/ 3 ，13 /9 ）或（7 / 3 ，-20 / 9 ）．

Answer 3

1）△=b�0�5-4ac=0
（-2）�0�5-4x1x（m-1）=0
m=2

（2）利用对称轴的性质可证AB=AC
过B做BH⊥AC于H，
∵A（0，1） B（1，0）
∴∠ABO=45°
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ACB
∴△ABC为等腰直角三角形

（3）
Y=X�0�5-2X+1
∴C”：Y=X�0�5-2X-3
令Y=O
X�0�5-2X-3=0
(X-3)(X-1)=0
∴X＝3，或X=-1
∴F（-1，0）
令X=0
则Y=-3
所以X=-3
所以F(O,3)
∴EF=3倍根号3
把（-1，0）（O,3)带入Y=KX+b
得b=-3且0=-k-3
解得：Y=-3X-3
∴FP;Y=3分之1-3
由于交于一点所以
Y=-3X-3且Y=X�0�5-2X-3
构成方程-3X-3=X�0�5-2X-3
解得：X=3分之5
把X=3分之5代入Y=-3X-3
得：Y=-3分之4
∴P（-3分之4，3分之5