Question

若|x的平方-4x|=b有四个整数解,求b的范围

Answer 1

从函数图像着手，y=x²-4x图像x轴下方部分镜像到上方，

即变换为y=|x²-4x|的图像，然后下移b，成为f(x)=|x²-4|-b的图像

当此图像也x轴有4个交点，即方程|x²-4|-b=0有4个实数解

如下图b=0时，f(x)与x轴有2个公共点（即没移动时）；

此时对称轴上有极大值点，即x=2,y=4

所以下向平移4个单位，即b=4时f(x)与x轴有3个公共点。

所以方程f(x)=0有4个解时，b的取值范围为0<b<4

方程|x²-4x|=4除了x=2这个解，还有2个实数解即

方程x²-4x-4=的两根2±2√2

综上所述：方程|x²-4x|=b的四个实数解在区间（2-2√2，2+2√2）内

这个区间整数有0，1，2，3，4；由下图可知图像的对称性0，2，4不可能是方程的解。

所以，方程不可能有四个整数解，b的范围也就是无解。

b的取值范围为0<b<4，只能说明方程有4个实数解。

Answer 2

|x²-4x| = |x²-4x+4 -4| = |(x-2)²-4|
当|(x-2)²-4|=0 时 (x-2)²=4只有2个解,不满足

只有保证
(x-2)²-4<0 时 或(x-2)²-4>0 时, 原方程都有2个解,原方程才能有四个解

(x-2)²-4<0 时, b = |(x-2)²-4| = -((x-2)²-4) = 4- (x-2)²
得 b要满足 0<b<4

(x-2)²-4>0 时 b = |(x-2)²-4| = (x-2)²-4

得 b要满足 b>0

公共部分是
0<b<4

考虑到是整数解
(x-2)²-4<0 时, |(x-2)²-4| = 4- (x-2)² = b

(x-2)²= 4-b

x-2 = +/- √ (4-b)
要使根式成整数b 在(0,4)之间只能取3
(x-2)²-4>0 时 b = |(x-2)²-4| = (x-2)²-4

(x-2)²= 4+b

x-2 = +/- √ (4+b)

要使根式成整数b 在(0,4)之间没有合适的值

所以没有这样的b存在

Answer 3

若|x的平方-4x|=b有四个整数解,求b的范围
x的平方-4x=(x-2)的平方-4
(x-2)的平方=4+b
(x-2)的平方=4-b
0<b<4
满足条件的整数b不存在

Answer 4

解：x²-4x=0得x1=0, x2=4
x²-4x≥0得x≤0或者x≥4；x²-4x﹤0得0<x<4.
当x≤0或者x≥4时，|x²-4x|=x²-4x≥0；
当0<x<4时，|x²-4x|=-x²+4x=-(x-2)²+4﹤4
∴0<b<4时，有四个整数解