Question

设F1为(x2)/3+(y2)/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求S△F1AB的最大值

Answer 1

解：SF1AB的最大值即为当AB垂直于x轴时(结论，可以证明的) 此时AB=通径=2b^2/a=4/3

高为2c=2 所以最大面积为S=1/2*4/3*2=4/3

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Answer 2

a�0�5=3,b�0�5=2
c�0�5=3-2=1
c=1
所以F1F2=2c=2

假设A在x上方，B在下方
直线过(1,0)
设直线是x-1=m(y-0)
x=my+1
代入2x�0�5+3y�0�5=6
(2m�0�5+3)y�0�5+4my-4=0
y1+y2=-4m/(2m�0�5+3),y1y2=-4/(2m�0�5+3)

三角形F1AB=三角形F1F2A+F1F2B
他们底边都是F1F2=2
则面积和最小就是高的和最小
即 |y1|+|y2|
因为AB在x轴两侧,所以一正一负
所以|y1|+|y2|=|y1-y2|
(y1-y2)�0�5=(y1+y2)�0�5-4y1y2=16m�0�5/(2m�0�5+3)�0�5+16/(2m�0�5+3)
|y1-y2|=4√[m�0�5+(2m�0�5+3)]/(2m�0�5+3)
=4√3*√(m�0�5+1)]/(2m�0�5+3)

令√(m�0�5+1)=p
2m�0�5+3=2p�0�5+1
且p>=1
则p/(2p�0�5+1)=1/(2p+1/p)
分母是对勾函数
所以p=√(1/2)=√2/2时最小
这里p>=1,所以p=1,2p+1/p最小=3
此时p/(2p�0�5+1)最大=1/3
所以|y1-y2|最大=4√3*1/3
所以最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3

Answer 3

首先，在草稿纸上画图，设直线AB方程为x=ky+1.(k为斜率的倒数)，然后讨论k的值，分两种情况，k等于零或者k不等于零。第一，当k=0时，直线AB刚好是垂直于x轴的直线。此时三角形ABF1的面积就用1/2底乘高算出来，答案是2倍根号3除以3。第二，当k不等于零时，设点A(x1,y1),点B(x2,y2),那么三角形面积S等于|y1-y2|。而|y1-y2|可化为根号下(y1+y2)^2-4y1y2。现在就要想方设法的求出y1,+y2。y1乘y2的值，然后带入就可。这就启示我们两根之和两根之积。