Question

已知函数f（x）=lnx-ax+（1-a）/x-1,(a属于R），设g（x）=x�0�5-2bx+4.

求当a=1/4时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2).求实数b的取值范围。

Answer 1

问题只需转化为minf(x1)>=maxg(x2).当a=1/4,f(x)=lnx-x/4+3/(4x)-1.求导得f'(x)=-(x-3)(x-1)/(4x^2).令f'(x)=0,得唯一驻点x=1,（注意到0<x<2）.当0<x<1,f'(x)<0,f(x)递减，当1<x<2,f'(x)>0,f(x)递增，则f(x)极小值为f(1)且此极小值必为其最小值,于是minf(x)=f(1)=-1/2,进一步有g(x)=x^2-2bx+4<=minf(x)=-1/2,在x属于[1,2]恒成立，移项分离常数b后，问题等价于4b>=2x+9/x,在x属于[1,2]恒成立。等价于4b>=max[2x+9/x],x属于[1,2],我们记F(x)=2x+9/x,1<=x<=2,F'(x)=[2(x-3/(2^0.5))(x+3/(2^0.5))]/x^2,易知当1<=x<=2,F'(x)<0,则F(x)递减，maxF(x)=F(1)=11,于是4b<=maxF(x)=11,得b<=11/4即为b的取值范围。

Answer 2

Answer 3

问题只需转化为minf(x1)>=maxg(x2).当a=1/4,f(x)=lnx-x/4+3/(4x)-1.求导得f'(x)=-(x-3)(x-1)/(4x^2).令f'(x)=0,得唯一驻点x=1,（注意到0<x<2）.当0<x<1,f'(x)<0,f(x)递减，当1<x<2,f'(x)>0,f(x)递增，则f(x)极小值为f(1)且此极小值必为其最小值,于是minf(x)=f(1)=-1/2,进一步有g(x)=x^2-2bx+4<=minf(x)=-1/2,在x属于[1,2]恒成立，移项分离常数b后，问题等价于4b>=2x+9/x,在x属于[1,2]恒成立。等价于4b>=max[2x+9/x],x属于[1,2],我们记F(x)=2x+9/x,1<=x<=2,F'(x)=[2(x-3/(2^0.5))(x+3/(2^0.5))]/x^2,易知当1<=x<=2,F'(x)<0,则F(x)递减，maxF(x)=F(1)=11,于是4b<=maxF(x)=11,得b<=11/4即为b的取值范围。