Question

已知函数f(x)=aInx+x^2/2-(a+1)x (x>0,实数a属于R）

（1）讨论f（x）的单调区间
（2）当f(x)有两个极值时,求证这两个极值都小于零

Answer 1

解：1）f(x)=alnx+x^2/2-(1+a)x (x>0)
f’(x)=a/x+x-(1+a)
={x²-(1+a)x+a}/x
设h(x)= x²-(1+a)x+a=(x-a)(x-1) （x＞0）
因为x＞0， 所以只需考察h(x)正负即可
接下来分类讨论。
①a＜0时，作出图像
在y轴右侧h(x)只有（0，1）一个交点
所以 x∈(0，1)时，h(x)＜0，f’(x)＜0，所以f(x)单调递减
x∈(1，+∞)时，h(x)＞0，f’(x)＞0，所以f(x)单调递增
同理②a=0时，
f’(x)=x-1
x∈(0，1)时，f(x)单调递减【理由同上】
x∈(1，+∞)时，f(x)单调递增
③0＜a＜1时
x∈(0，a)时，f(x)单调递增
x∈(a，1)时，f(x)单调递减
x∈(1，+∞)时，f(x)单调递增
④a=1时，
x∈(0，+∞)时，f(x)单调递增
⑤a＞1时
x∈(0，1)时，f(x)单调递增
x∈(1，a)时，f(x)单调递减
x∈(a，+∞)时，f(x)单调递增
【理由皆为f’(x)的正负】
2）做一下简单的判断：
a＞0时，x→0时，lnx→-∞，明显不成立
a=0时，f(x)=½x²-x，f(1)=-1/2＜0，显然不成立
所以a＜0
f(1)为最小值，只需f(1)≥0即可
f(1)=a•0+1/2-(1+a)≥0，a≤-1/2
所以a≤-1/2时，f(x)恒≥0（x＞0）

Answer 2

f(x)=aInx+x²/2-(a+1)x
定义域为x>0
f'(x)=a/x+x-(a+1)
=[x²-(a+1)x+a]/x
令f'(x)=0
x²-(a+1)x+a=0
(x-1)(x-a)=0
x=1，x=a
当a≤0时 0<x<1 f'(x)<0 f(x)单调减
x>1 f'(x)>0 f(x)单调增
当0<a<1时 0<x<a f'(x)>0 f(x)单调增
a<x<1 f'(x)<0 f(x)单调减
x>1 f'(x)>0 f(x)单调增
当a>1时 0<x<1 f'(x)>0 f(x)单调增
1<x<a f'(x)<0 f(x)单调减
x>a f'(x)>0 f(x)单调增
(2)有两个极值，说明a>0
极值f(a)=alna+a²/2-(a+1)*a
=alna-a²/2-a<0
极值f(1)=1/2-(a+1)
=-a-1/2<0