Question

设lim[(x+2a)/(x-a)]^x=8,则a=__.(x趋于无穷)

我知道百度的解是
(x+2a)/(x-a)=1+3a/(x-a)
lim[(x+2a)/(x-a)]^x=lim {[1+3a/(x-a)]^(x-a)/3a}^3ax/(x-a)
=e^3a=8
3a=3ln2
a=ln2
但是
lim {[1+3a/(x-a)]^(x-a)/3a}^3ax/(x-a)为什么=e^3a啊好着急
lim {[1+3a/(x-a)]^(x-a)/3a}^3ax/(x-a)=lime^3ax/(x-a)为什么直接等于e^3a啊，x哪里去了？
跪拜求教啊，不要换元，请告诉我e^[3ax/(x-a)]为什么直接等于e^3a

Answer 1

这是一个常用的极限公式
x趋近无穷大时，
lim[1+(1/x)]^x=e
然后指数和底数分别求极限

lim {[1+3a/(x-a)]^(x-a)/3a}=e
lim {[1+3a/(x-a)]^(x-a)/3a}^3ax/(x-a)
=e^lim[3ax/(x-a)]
x趋近无穷时
lim[3ax/(x-a)]＝3a
所以，lim {[1+3a/(x-a)]^(x-a)/3a}^3ax/(x-a)=e^3a

追问

万分感谢啊非常清楚，再请问您说的指数和底数分别求极限是不是lim(a^b)肯定等于(lima)^(limb)啊

追答

这个不一定，根据题目的具体情况来决定

lim[1+(1/x)]^x，像这个就不能分开求