Question

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2要原创

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标
(2)若P（0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设三角形PAD的面积为S，令W=t.s,当0<t<4时,w是否有最大值?如果有,求出w的最大值和此时T的值,如果没有,说明理由.
探究二:如图2,是否存在以P,A,D为顶点的三角形与RT△AOC相似?如果存在,求点P的坐标,如果不存在,请说明理由.
(参考资料:抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)对称轴是直线x=-b/2a)

Answer 1

（1）、抛物线y=ax^2-x+3的对称轴为直线x=-2，所以1/2a=-2，解得a=-1/4，该抛物线的解析式为y=-x^2/4-x+3，顶点D的坐标（-2，4）；
（2）、依据抛物线的解析式为y=-x^2/4-x+3，可以求得A（-6，0）、B（2，0）、C（0，3），
则OA=6，OB=2，OC=2
探究一：当0<t<4时，过D点作DE垂直Y轴交Y轴于E，则DE=2，所以△PAD的面积S＝梯形OADE的面积-△OPA的面积-△PDE的面积=0.5*(2+6)*4-0.5*6*t*-0.5*2*(4-t)=12-2t，所以W=t.s=12t-2t^2=-2(t-3)^2+18，因此当t=3时，w有最大值18。
探究二：存在以P,A,D为顶点的三角形与RT△AOC相似，AD=4根号2，
1）过A点作AP垂直AD交Y轴于P，则AD：OC=AP：OA，求得AP=12根号2，而AP^2=OA^2+OP^2，即36+t^2=288，解得t=-2根号61，
2）PD垂直AD或DP垂直AP情况，经验证都无解。
综上所述，点P的坐标为（0，-2根号61）

Answer 2

抛物线关于对称轴直线x=-2对称，故-b/2a=-2, 1/2a=-2, a=-1/4; 抛物线y=-x^2/4-x+3故顶点坐标D=(-b/2a, (4ac-b^2)/4a)=(-2,4)A点坐标(-6,0), AD=4*2^(0.5), 直线AD的方程式y=x+6P点到直线AD的距离l=(6-t)/2^(0.5)W=ts=t*1/2*AD*l=t/2*4*2^(0.5)*(6-t)/2^(0.5)令W的导数等于零，解出t=0,或t=6时W取最大值。因0<t<4，故W无最大值。

Answer 3

由对称轴x=-b/2a可知a=1
所以该抛物线函数解析式为y=x^2-x+3
再把对称轴横坐标
x=-2代入函数解析式得y=9所以点D（-2，9）