Question

如图,直线与抛物线y=1/2x²+bx+c交于点A(0,1),B(4,3)两点,与x轴交于点D。(1)求直线的抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当⊿PAE是直角三角形时，求点P的坐标

Answer 1

⑴直线：y＝1/2x，抛物线：y＝1/2x^2－3/2x＋1

第⑵问是当△PAB为直角三角形时求点P的坐标吧？
设直线AB交x轴于点C(－2，0)，作BD⊥x轴于点D
①过点A作AP⊥AB交x轴于点P，易知△POA∽△AOC
可求得：OP＝1/2，此时P点坐标为(1/2，0)
②过点B作BP⊥AB交x轴于点P
则BD＝3，CD＝6，DP＝1.5，从而OP＝5.5
此时P点坐标为(5.5，0)
③当△POA∽△BDP时，∠APB＝90°
设OP＝x，则PD＝4－x
由OA/PD＝OP/BD得：1/(4－x)＝x/3
解得：x＝1或x＝3
此时P点坐标为(1，0)或(3，0)
故满足条件的P点坐标为：(1/2，0)、(5.5，0)、(1，0)、(3，0)

Answer 2

解：1).将AB点代入抛物线方程，得到
1=c
3=8+4b+c
解得 b=-3/2 c=1
故抛物线方程y=1/2x²+-3/2x+1
设直线方程：y=mx+n
同理将AB点代入直线方程得：
m=1/2 n=1
故直线方程为y=1/2x+1
2).