Question

一道奥数题：2/1*(1+2)-3/(1+2)*(1+2+3)-.....-10/(1+2+3+4+...+9)*(1+2+3+4+...+10)

Answer 1

很辛苦地在Word上先编分数，再截图，再回答，希望能得到大家的采纳与赞成。再提供一个公式

追问

请解释解: 因为
n/（1+2+……n-1)*(1+2+……+n)
= n /[(n-1)n/2 *n*(n+1)/2]
=4 /[(n-1)*n*(n+1)]
=2[1/(n-1)n - 1/n(n+1)]
有可能原式是加号
所以 原式=2/1*(1+2)+3/(1+2)*(1+2+3)+.....+10/(1+2+3+4+...+9)*(1+2+3+4+...+10)= 2[1/（1*2)-1/(2*3)] +2[1/（2*3)-1/(3*4)]+。。。+2[1/（9*10)-1/(10*11)] =2*[1/（1*2)-1/(10*11)]
=1-1/55
=54/55

追答

不明白你让我解释什么，你总得提出个问题吧。
第二段中“有可能原式是加号”——如果原式是加号，则最后结果为一头一尾两数相减；如果原式是连减，则是一头一尾两数相加。这无论哪一种，都会因为每个分数分拆结果都是两数相减，始终能将中间的部分正负抵消，只剩一头一尾两个数。

追问

为什么有人说是54/55

追答

原式是连加结果才会是54/55，但你给的题是连减。去最后一个括号时，因括号前是减号，括号里的减号要变成加号，所是最后是1+1/55，当然就不会等于54/55

Answer 2

解: 因为
n/（1+2+……n-1)*(1+2+……+n)
= n /[(n-1)n/2 *n*(n+1)/2]
=4 /[(n-1)*n*(n+1)]
=2[1/(n-1)n - 1/n(n+1)]
有可能原式是加号
所以 原式=2/1*(1+2)+3/(1+2)*(1+2+3)+.....+10/(1+2+3+4+...+9)*(1+2+3+4+...+10)
= 2[1/（1*2)-1/(2*3)] +2[1/（2*3)-1/(3*4)]+。。。+2[1/（9*10)-1/(10*11)]
=2*[1/（1*2)-1/(10*11)]
=1-1/55
=54/55
如果还是按照题中都是减号，则
原式=2/1*(1+2)- [3/(1+2)*(1+2+3)+.....+10/(1+2+3+4+...+9)*(1+2+3+4+...+10)]
=2/3 -{ 2[1/（2*3)-1/(3*4)]+。。。+2[1/（9*10)-1/(10*11)] }
=2/3 -{ 2[1/（2*3)- 1/（10*11) ] }
=2/3 -[2(1/6-1/110)]
=2/3 -(1/3-1/55)
=1/3 +1/55
=58/165

Answer 3

解：原式=4/1*2*3-4/2*3*4-4/3*4*5-4/4*5*6.....-4/9*10*11
=2*(1/1*2-1/2*3-1/2*3+1/10*11)
=58/165

Answer 4

因为n/（1+2+……n-1)*(1+2+……+n)=1/(1+2+……+n-1)-1/（1+2+……+n);
所以原式=1-1/（1+2)+1/(1+2)-1/(1+2+3)+……+1/(1+2+……+9)-1/(1+2+……+10)=1-1/55=54/55