Question

一道高数微积分的例题，例7没看懂

有以下疑问： 1、红色方框内这一步，积分号外的x放入积分号内，是什么依据？感觉课本上没讲啊
2、按假设，当0<t<x时，t和x的大小关系怎么来的？
3、按例6所述积分中值定理，这个没看懂，跟积分中值定理有什么关系？

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Answer 1

1.与积分变量（t）无关的量可以放入积分号；

2.取x>0，人为取t属于(0,x)；

3.

Answer 2

1、x∫f(t)dt = ∫xf(t)dt
因为x相对于后面的关于t的积分是一个常数，积分过程中，x不积分，积分结果的表达式如何与x在积分符合里外无关
如f(t)=t,则x∫tdt = x·(t²/2)|[0,x] = x³/2, ∫xtdt = (xt²/2)|[0,x] = x³/2

2、∫(0,x)(x-t)f(t)dt这个积分，t的取值范围是0<t<x

3、按中值定理，∫(0,x)f(t)dt =f(y)(x-0), (0<y<x), ∫(0,x)(x-t)f(t)dt = (x-z)f(z)·(x-0) (0<z<x)
这里，y,z就是中值定理中的那个必然存在的一点
由于对0<y,z<x
f(y)>0, (x-z)f(z)>0 (见当0<t<x时，f(t)>0, (x-t)f(t)>0,是y、z还是t没有关系，只是换了个字母，满足条件在0和x之间就行)
而y>0,z>0
所以f(y)(x-0) =f(y)x>0， (x-z)f(z)·(x-0) = (x-z)f(z)x > 0

Answer 3

第一个： 变量时dt，所以这里的x你要看成是常量；
第二个： 定积分的上下限是t在（0,x）之间，且t≠x，所以x-t ＞0；
第三个： 按照例7的题干，它明显是符合例6中值定理要求的。
所以你照样可以设置一个ξ代替t，0<ξ<x，
两个式子分别像例6那样代入就得出答案了