Question

高一数学基本不等式问题

一道填空题中间有个步骤没弄懂，麻烦解答下。 题目简化： x1≠x2，x1²+x2²≥2x1x2，等号成立，当且仅当x1²=x2²，那如果x1=-x2，不是可以成立么。 但老师说等号不能取，因为等号成立时移项变成(x1-x2)²=0。 能告诉我我自己的理解哪里有错误么，不是a+b≥2根号ab，a=b时等号成立么？为什么要化简才知道不能取？

Answer 1

前提x1不等于x2

Answer 2

你好你理解错了
原因如果x1=-x2成立，等号成立
不妨取x1=-x2=1
即x1=1，x2=-1
即x1²+x2²≥2x1x2
变形为
1²+（-1）²≥2*1*（-1）
即不等式左边是2，右边是-2，不能取等号。
本式子x1²+x2²≥2x1x2
等号成立的唯一条件就是x1=x2

追问

也就是说题目中有隐含条件x1*x＞0？

追答

本题目不隐含x1*x2＞0
而是任意的实数x1，x2来说
当x1=x2时，式子x1²+x2²=2x1x2成立的
原因（x1-x2）²=0
展开x1²+x2²-2x1x2=0
即x1²+x2²=2x1x2
当x1≠x2时，式子x1²+x2²＞2x1x2成立的
原因（x1-x2）²＞0
展开x1²+x2²-2x1x2＞0
即x1²+x2²＞2x1x2
综上知x1²+x2²≥2x1x2。
你随便举具体的数都可以验证这个结论的。