Question

设数列〔an〕的前n项和为Sn，数列〔Sn〕的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n∨2，求数列〔an〕的通项公式

设数列〔an〕的前n项和为Sn，数列〔Sn〕的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n∨2，求数列〔an〕的通项公式

Answer 1

当n=1时，T1=2S1-1=S1，所以S1=1
当n≥2时，T(n-1)=2S(n-1)-(n-1)²
那么Tn-T(n-1)=2Sn-n²-2S(n-1)+(n-1)²=2Sn-2S(n-1)-2n+1
而Tn-T(n-1)=Sn
所以Sn=2Sn-2S(n-1)-2n+1
所以Sn=2S(n-1)+2n-1
所以Sn=2S(n-1)+2n-1，S1=1
当n=1时，a1=S1=1；当n=2时，a1+a2=2a1+3，a2=a1+3=4；
当n≥3时，S(n-1)=2S(n-2)+2n-3
那么Sn-S(n-1)=2S(n-1)-2S(n-2)+2=2[S(n-1)-S(n-2)]+2
而Sn-S(n-1)=an，S(n-1)-S(n-2)=a(n-1)
所以an=2a(n-1)+2
所以an+2=2a(n-1)+4=2[a(n-1)+2]
而a2+2=4+2=6
所以数列{an+2}从第二项开始是以6为首项、2为公比的等比数列
那么an+2=(a2+2)*2^(n-2)=6*2^(n-2)=3*2^(n-1)
所以an=3*2^(n-1)-2 (n≥2)
而当n=1时，a1=3*2^0-2=3-2=1，满足此时
所以an=3*2^(n-1)-2 (n∈N+)