Question

计算n阶行列式

谢谢，在线求解各位高手。
其中，a1*a2*a3....*an≠0

Answer 1

这个行列式可以化为 "箭形"行列式
(1) 所有行减第1行, D =
1+a1 1 ,,, 1
-a1 a2 ... 0
......
-a1 0 ... an
(2) 化简一下: 第i列提出ai
D=a1a2...an*
1+1/a1 1/a2 ... 1/an
-1 1 ... 0
.......
-1 0 .... 1
(2) 再利用主对角线上的元素将某个边上的元素化为0
所有列加到第1列
行列式化为上三角形式
D = a1a2...an ( 1+1/a1+1/a2+...+1/an)

Answer 2

我想到一个办法。
升维法。在原行列式的基础上，把行列式变成n+1维的行列式，在第一行加上n+1个1，第一列除首元素是1外，其它是0。然后用第2到n+1行依次减去首行。可得一个递推公式。Dn=an*D(n-1)+a1*a2*……*an-1
然后可用归纳法得Dn=a1*a2*……an(1+1/a1+1/a2+……1/an)
参考资料：之前回答过的一题。http://zhidao.baidu.com/question/532939279?&oldq=1

追问

口述不能懂啊亲，抱歉。。可不可以附图？或者数字表示。。。

追答

你看一下我给的参考资料。如果不懂再追问。不过请具体说明哪里不懂。

追问

我以一个4阶为例子按你的想法做。如图

做到这就不会了。你说“可得一个递推公式。Dn=an*D(n-1)+a1*a2*……*an-1”   就不理解。  还有这道n阶题的答案是啊a1*a2*a3...*an(1+E1/ai)

追答

然后按最后一行展开。除去首列，得到的行列式为a1*a2*a3，除去最后一列，得到a4*D3
所以D4=a4*D3+a1*a2*a3
还有，答案和我的一样。不是E，而是∑，是累加的意思。
所以得到Dn=an*D(n-1)+a1*a2*……*an-1，再按归纳法可得
Dn=a1*a2*……an(1+1/a1+1/a2+……1/an)
或者是a1*a2*a3...*an(1+∑1/ai)

追问

又根据你说的按最后一行展开：

D=a51A51+a52A52+.....+a55A55

  =-A51+a4*A55 =

.就这样不会了。。以至于你说“得到的行列式为a1*a2*a3，除去最后一列，得到a4*D3

所以D4=a4*D3+a1*a2*a3”真心不知道怎么来的，详细答。。。我孺子可教的呵呵please~

 

追答

第一个行列式，它的值不就是-a1*a2*a3，再加上前面的-1，就是a1*a2*a3，第二个行列式不就是D3。
所以D4==a4*D3+a1*a2*a3
如果再不懂，把你的qq私信给我。我加你吧。。。抓狂。。。挣这分咋这么难呢。。