已知f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1],若f(x)的定义域或值域为R,分别求a的取值范围

匿名用户
2013-03-31
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定义域为R,即真数部分大于0恒成立;
真数为(a²-1)x²+(a+1)x+1,只有常数函数或二次函数可以恒大于0;
常数函数:a²-1=0,且a+1=0,得:a=-1;
二次函数:则开口向上,与x轴无交点;
所以:a²-1>0,得:a<-1或a>1;
△=(a+1)²-4(a²-1)<0,即-3a²+2a+5<0,即:3a²-2a-5>0,即:(3a-5)(a+1)>0;
得:a<-1或a>5/3;
两个取交集为:a<-1或a>5/3;
综上,实数a的取值范围是:a≦-1或a>5/3;

2.
因为f(x)的值域为R,则(a^2-1)x^2+(a+1)x+1必须能够取遍所有正实数,
即(0,+无穷)必须是函数y=(a^2-1)x^2+(a+1)x+1的值域的子集,
1)当a^2-1=0即a=1或-1时
1°a=1时,符合题意;
2°a=-1时,不符合题意。
2)当a^2-1不等于0时
a^2-1>0且△≥0,
解得1<a≤5/3
综上所得,a的范围是1≤a≤5/3
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