Question

问一道高中数学题，急

问题：
如图,P1(x1、y1)、P2(x2、y2)、……Pn(xn、yn)(0<y1<y2……yn)是曲线C:y^=

3x(y>=0)上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3……n）在x轴的正半轴上， 且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）
（1）写出a1、a2、a3；
（2）求出点An（an，0）(n属于N*)的横坐标an关于n的表达式，并证明
写出具体步骤，好的加分

Answer 1

仅供参考
（1）a1=2，a2=6，a3=12；
（2）依题意，得 xn=(a(n-1)+an)/2 ，yn=√3(an-a(n-1))/2 (等边三角形的高=边长*√3/2）
，由此及yn^2=3xn得
3(an-a(n-1))^2/4=3(a(n-1)+an)/2
即（an-a(n-1))^2=2(a(n-1)+an)．（为下面证明所用）
由（1）可猜想：an=n（n+1）n∈N*
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当n=1时，命题显然成立；
（2）假定当n=k时命题成立，即有an=k（k+1），则当n=k+1时，由归纳假设及（a(k+1)-ak)^2=2（ak+a(k+1)）得[a(k+1)-k（k+1）]^2=2[k（k+1）+a(k+1)]，即（a(k+1))^2-2(k^2+k+1）a(k+1)+[k（k-1）]•[（k+1）（k+2）]=0，
解之得a(k+1)=（k+1）（k+2），（a(k+1)=k（k-1）＜ak不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．
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追问

（1）a1=2，a2=6，a3=12这是怎么得到的？

追答

y^2=3x
y=√3x
联立解出x=0，x=1
a1=2*1=2
y^2=3x
y=√3(x-2)
联立解出x=4
a2=2(4-1)=6
......

追问

y^2=3x
y=√3x
怎么联立的呀？他俩不等同于一个吗

追答

不是啊
y^2=3x

y=√3x...................直线A0P1

3x^2=3x
x^2-x=0
x=1 x=0

追问

y=√3x...................直线A0P1这是怎么计算得到的？你能详细写一下吗

追答

等边三角形，∠P1A1A2=60°
tan60°=√3
直线A0P1斜率=√3

Answer 2

在这里写清楚是很麻烦的，给你大致思路。
An-An-1=第n个三角形的边长 Pn纵坐标=根号3/2*(An-An-1)
Pn横坐标=An-1/2(An-An-1)
Pn在曲线上，将P带进去，就可以求出来了