Question

求证不等式：[(a^n+b^n)/2]^(1/n)=<{[a^(n+1)+b^(n+1)]/2}^[1/(n+1)]

注：n为正整数。感谢

Answer 1

需要的知识并不多，只需要会求导就行了，但是要有良好的计算功底。

Answer 2

条件应该有a, b ≥ 0.

先给一种使用均值不等式的初等证明.
设M = ((a^n+b^n)/2)^(1/n), 取A = a/M, B = b/M.
有A^n+B^n = (a^n+b^n)/M^n = (a^n+b^n)/((a^n+b^n)/2) = 2.

由均值不等式
n·A^(n+1)+1 = A^(n+1)+A^(n+1)+...+A^(n+1)+1
≥ (n+1)(A^(n+1)·A^(n+1)·...·A^(n+1)·1)^(1/(n+1))
= (n+1)(A^(n(n+1)))^(1/(n+1))
= (n+1)A^n.
即n·A^(n+1) ≥ (n+1)A^n-1.
同理n·B^(n+1) ≥ (n+1)B^n-1.
相加得n(A^(n+1)+B^(n+1)) ≥ (n+1)(A^n+B^n)-2 = 2(n+1)-2 = 2n.
故A^(n+1)+B^(n+1) ≥ 2.

两边乘以M^(n+1)得
a^(n+1)+b^(n+1) ≥ 2·M^(n+1).
即((a^(n+1)+b^(n+1))/2)^(1/(n+1)) ≥ M = ((a^n+b^n)/2)^(1/n).
结论得证.

其实这个不等式还有几何意义.
换元c = a^n, d = b^n, 不等式化为((c+d)/2)^(1+1/n) ≤ (c^(1+1/n)+d^(1+1/n))/2.
这个结果就是函数f(x) = x^(1+1/n)的凸性.
在高数中, 凸性可以由f"(x) = (1/n+1/n²)·x^(-1+1/n) > 0证明.