Question

设函数f(x)=log2(a^x-b^x)

设函数f(x)=log2(a^x-b^x)，且f（1）=0，f（2）=log 2为底 12为真数问 （1） 求a，b的值 （2） 求函数f(x)的零点 （3）令g(x)=a^x-b^x,求g(x)在【1，3】上的最小值

Answer 1

（1）分别把x=1，x=2代入函数得到方程组：a-b=2;a^2-b^2=12即：a-b=2;a+b=6,解得a=4，b=2.
（2）把a,b的值代入原函数得：f(x)=log2为底(4^x-2^x)=log2为底(2^2x-2^x)=2x-x=x，（x>0)
所以f(x)=x的零点为x=0
(3)当x∈[1,3]时,g(x)=a^x-b^x=(2^x)²-2^x=[(2^(x)-1/2]²+1/4≥1/4

Answer 2

1.解：因为f（1）=1得log2(a-b)=1，则有a-b=2因为f(2)=log2(12)得log2(a^2-b^2)=log2(12),则有a^2-b^2=12上述两式联立得a=4,b=22.由f(x)=log2(4^x-2^x)=0得4^x-2^x=1得x=(1+√5)/2或者x=(1-√5)/23.先证明g(x)=a^x-b^x是一个增函数任取x1<x2, 且4^x>2^x，故g(x)>0g(x1)-g(x2)=(4^x1-2^x1)-(4^x2-2^x2)=4^x1[1-4^(x2-x1)]-2^x1[1-2^(x2-x1)]而{4^x1[1-4^(x2-x1)]} / {2^x1[1-2^(x2-x1)]} > 1(且两者均为负数)所以g(x1)-g(x2)<0所以g(x1)<g(x2)所以g(x)=a^x-b^x是一个增函数，故g(x)在【1，3】上的最小值为g(1)=4-2=2

Answer 3

(1)因为f(x)=log2(a^x-b^x)，且f（1）=0，f（2）=log 2为底 12为真数所以有0=log2(a-b)，log 2为底 12为真数=log2(a^2-b^2)，所以a-b=1且a^2-b^2=12=(a+b)(a-b)解得a=6.5 b=5.5(2)下面先证明g(x)=a^x-b^x是一个增函数任取x1<x2, 且6.5^x>5.5^x，故g(x)>0g(x1)-g(x2)=(6.5^x1-5.5^x1)-(6.5^x2>5.5^x2)=6.5^x1[1-6.5^(x2-x1)]-5.5^x1[1-5.5^(x2-x1)]而{6.5^x1[1-6.5^(x2-x1)]} / {5.5^x1[1-5.5^(x2-x1)]} > 1(且两者均为负数)所以g(x1)-g(x2)<0所以g(x1)<g(x2)所以g(x)=a^x-b^x是一个增函数，所以f(x)=log2(a^x-b^x)也是一个增函数(2)因为f（1）=0且f(x)是一个增函数所以零点只有一个，且为1。（3）因为g(x)=a^x-b^x是一个增函数当x=1时，g(x)在【1，3】上有最小值为g(1)=6.5-5.5=1

Answer 4

(1)由 f（1）=0，f（2）=log 2(12) 得 log2(a-b)=0 log2(a^2-b^2)=log2(12)所以a-b=1 a^2-b^2=12 可求出 a=13/2 b=11/2(2)零点为 1(3)可知g(x)在【1，3】上 单调递增 所以最小值为13/2-11/2=1