Question

已知C,p，m都是常数，求解微分方程：dv/dt=g- (CpAv^2)/m 求出速度v的表达式，以及高度h（好）的表达式？

已知C,p，m都是常数，求解微分方程：dv/dt=g- (CpAv^2)/m 求出速度v的表达式，以及高度h（v=dh/dt）的表达式？
A也是常数

Answer 1

分离变量dt=( 1/( g- (CpAv^2)/m ) ) dv
积分得t=∫( 1/( g- (CpAv^2)/m ) ) dv =∫( 1/[( √g- √(CpA/m)·v) · ( √g+ √(CpA/m)·v)] ) ) dv
=(1/(2√g))·∫[ 1/( √g- √(CpA/m)·v) + 1/( √g+ √(CpA/m)·v) ]dv
=(1/2)/(√(m/(gCpA)))·ln[ ( √g+ √(CpA/m)·v)/( √g- √(CpA/m)·v) ]
这得到的是t(v).
如果需要的话可以通过求反函数得到v(t)

dh=vdt=( v/( g- (CpAv^2)/m ) ) dv 【参见我写的第一行】
→h= ∫( v/( g- (CpAv^2)/m ) ) dv
=(1/2)∫( 1/( g- (CpAv^2)/m ) ) dv^2
=(m/(2CpA))·∫( 1/( g- (CpAv^2)/m ) ) d((CpAv^2)/m)
=(-m/(2CpA))·∫( 1/( g- (CpAv^2)/m ) ) d(g-(CpAv^2)/m)
=(-m/(2CpA))·ln|g- (CpAv^2)/m|
如果需要用t来表达，则将上面求出的v(t)代入即可

Answer 2

mdv/dt=mg- (CpAv^2)=mg-(Kv)^2 (K^2=CpA)
mdv/(mg-(Kv)^2)=dt, mdKv/(mg-(Kv)^2)=Kdt,
积分化简得：ln|(√mg+Kv)/(√mg-Kv)|=2(K√(mg)/m)t+C1
由于t=0,v=0 代入C1=0 √mg+Kv)/(√mg-Kv=e^[2(K√(mg)/m)t]
v(t)= [√(mg)/K](e^[2(K√(mg)/m)t]-1)/(e^[2(K√(mg)/m)t]+1)

h(t)=∫[√(mg)/K](e^[2(K√(mg)/m)t]-1)/(e^[2(K√(mg)/m)t]+1)dt
=[√(mg)/K]/{2(K√(mg)/m} {2ln(1+e^[2(K√(mg)/m)t]-2(K√(mg)/m)t}
=[m/(2K^2]{2ln(1+e^[2(K√(mg)/m)t]-2(K√(mg)/m)t}+C2

追问

符号不太清楚，您能发我邮箱1394125619@qq.com吗？谢谢