Question

在三角形ABC中，已知sinA+sinC=2sinB,∠B=30度，若三角形ABC的面积为二分之一，则∠B的对边b等于多少

Answer 1

因为sinA+sinC=2sinB，所以a+c=2b，4b²=a²+c²+2ac；
因为b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-√3ac；
可以求出：ac=3(2-√3)b²；
三角形面积S=√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/16]=1/2
所以(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=4，因为a+c=2b，
所以(3b)(a+b-c)b(b+c-a)=4，
即3b²(a+b-c)(b+c-a)=3b²[b²-(a-c)²]=3b²[a²+c²-√3ac-a²-c²+2ac]=3b²(2-√3)ac
=3b²(2-√3)ac=3b²3(2-√3)²b²=4；
两边开平方得，3(2-√3)b²=2；
b²=2(2+√3)/3=(4+2√3)/3=(1+√3)²/3；
两边开平方得，b=(1+√3)/√3
即b=(3+√3)/3。

Answer 2

因为sinA+sinC=2sinB，所以a+c=2b，4b�0�5=a�0�5+c�0�5+2ac；因为b�0�5=a�0�5+c�0�5-2accosB=a�0�5+c�0�5-√3ac；可以求出：ac=3(2-√3)b�0�5；三角形面积S=√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/16]=1/2所以(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=4，因为a+c=2b，所以(3b)(a+b-c)b(b+c-a)=4，即3b�0�5(a+b-c)(b+c-a)=3b�0�5[b�0�5-(a-c)�0�5]=3b�0�5[a�0�5+c�0�5-√3ac-a�0�5-c�0�5+2ac]=3b�0�5(2-√3)ac=3b�0�5(2-√3)ac=3b�0�53(2-√3)�0�5b�0�5=4；两边开平方得，3(2-√3)b�0�5=2；b�0�5=2(2+√3)/3=(4+2√3)/3=(1+√3)�0�5/3；两边开平方得，b=(1+√3)/√3即b=(3+√3)/3。

Answer 3

解：由题意可知， a+c=2b（1） 由三角形的面积公式得， 1/2ac·sinB=1/2，则ac=2（2） 根据余弦定理，得 b2=a2+c2-2accosB→b2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴ b2=4b2 -4-2√3（就是二根号三) 解得b=（√3+3）/3 或b=-（√3+3）/3（舍） ∴……