Question

关于高数的一道题 p75 9(5)

这里面后面两项为什么相等，有什么公式吗

Answer 1

解：
这是换元思想

令t=[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)
上式两边取常用对数：
lnt=[ln(a^x+b^x+c^x)/3]/x
根据指数性质：
t=e^(lnt)
因此：
原式=
e^{lim(x→0) [ln(a^x+b^x+c^x)/3]/x}
而：
lim(x→0) [ln(a^x+b^x+c^x)/3]/x

=lim(x→0) [ln(a^x+b^x+c^x)/3]/x （根据罗比达法则）
=lim(x→0) (a^x+b^x+c^x)‘ / [(a^x+b^x+c^x)/3]
=lim(x→0) (a^xlna+b^xlnb+c^xlnc) / [(a^x+b^x+c^x)/3]
=(lna+lnb+lnc) / (1/3)
因此：
原式=e^[(lna+lnb+lnc) / (1/3)]
=e^[lna^(1/3)]*e^[lnb^(1/3)]*e^[lnc^(1/3)]
=(abc)^(1/3)

Answer 2

Answer 3

lna+lnb+lnc=ln(abc)
e^lnx=x
e^a*x=e^x^a
所以e^1/3(lna+lnb+lnc)=e^1/3ln(abc)=e^ln(abc)^1/3=(abc)^1/3

Answer 4

e(1/3)(lna+lnb+lnc)
=e(1/3*lna+1/3*lnb+1/3*lnc)
=(e(lna))^1/3*(e(lnb))^1/3*(e(lnc))^1/3
=a^1/3*b^1/3*c^1/3
=(abc)^1/3