Question

2010年高考山东卷理科

已知函数f<x>=lnx-ax+(1-a)/x-1(a属于R）
①当a小于等于1/2时，讨论f<x>的单调性
②设g<x>=x^2-2bx+4,，当a=1/4时，若对任意X1属于(0,2),存在X2属于[1,2],使f<X1>大于等于g<X2>，求实数取值范围。

Answer 1

(1) f′(x) = 1/x - a - (1- a)/(x^2) = [-ax^2 + x - (1- a)]/(x^2) = (-ax + 1 - a)(x - 1)/(x^2)
令f′(x) = 0 ,
若 a = 0 ,x = 1；在(-∞,1)上递减，在(1,+∞)上递增；
若 a ≠ 0 ,解得 x1= 1,x2 = (1/a) - 1;
当 a< 0,x2<0, 此时 (-ax + 1 - a)(x - 1)为开口向上的抛物线,则函数在(-∞,x2)上递增，在(x2,x1)上递减，在(x1,+∞)递增；
当 0<a< 1/2,x2>1=x1,此时 (-ax + 1 - a)(x - 1)为开口向下的抛物线,则函数在(-∞,x1)上递减，在(x1,x2)上递增，在(x2,+∞)上递减；

(2) 当a=1/4时,由(1)中讨论可知,x1= 1,x2 = 3;函数在(-∞,1)上递减，在(1,3)上递增，在(3,+∞)上递减；则对任意X1属于(0,2),在x1=1处有最小值 f(1) = - 1/2 ;要满足对任意X1属于(0,2),存在X2属于[1,2],使f<X1>大于等于g<X2>，则应该g<x>=x^2-2bx+4在[1,2],的最小值小于或等于- 1/2，现研究g<x>的最小值情况；
g<x>=x^2-2bx+4为开口向上的,对称轴为x=b的抛物线；
当b<1时,g<x>在[1,2]上的最小值为g<1>=5-2b ，5-2b≦- 1/2,解得 b≧11/4 ,不符；
当b∈[1,2],g<x>在[1,2]上的最小值为g<b> = -b^2 +4 , -b^2 +4 ≦- 1/2 ,解得 范围也不符合；
当b>2时,g<x>在[1,2]上的最小值为g<2>=8 -4b ，8 -4b ≦- 1/2,解得 b ≥ 17/8；
综上 b ≥ 17/8

很久没做了,可能会有错误,若有望讨论,谢谢

Answer 2

答案就在问题补充中