Question

在三角形ABC中tanA:tanB:tanC=1:2:3求AC/AB为甚A为锐角

Answer 1

答：tanA:tanB:tanC=1:2:3，比值都是正数，说明三个角的正切值都是正数，
也就是说明A,B,C三个角都小于90°，因此三角形ABC是锐角三角形，所以角A是锐角。

tanC=tan（180°-A-B）
=-tan（A+B)
=-（tanA+tanB）/（1-tanA×tanB）
因为tanA:tanB:tanC=1:2:3，代入上式得：
3tanA=-（tanA+2tanA)/（1-tanA*2tanA）
解得tanA=1

设BC边上的高为AD，则有：
BD=AD/tanB=AD/(2tanA)，AB=√(AD^2+BD^2)=(AD/2tanA)*√[4(tanA)^2+1]
CD=AD/tanC=AD/(3tanA)，AC=√(AD^2+CD^2)=(AD/3tanA)*√[9(tanA)^2+1]
所以：
AC/AB
=(2/3)*√{[9(tanA)^2+1]/[4(tanA)^2+1]}
=2√2/3

Answer 2

解：A 是锐角
设tanA=K (K>0)
tanB=2K
tanC=tan[π-(A+B)]
=-tan(A+B)
=-(K+2K)/(1-2K²)=3K
所以 1-2K²=-1
K=1
所以 tanA=1,tanB=2,tanC=3
sinA=√2/2,tanB=sinB/cosB,sin^2B+cos^2B=1，解得sinB=2/√5, 同理sinC=3/√10
AC/AB=sinB/sinC=(2/√5)/(3/√10)=(2/√5)*√10/3=2√2/3
若不明白可追问，有帮助请采纳！

追问

(K>0) 从哪里来的

追答

因为tanA:tanB:tanC=1:2:3是正值，所以设tanA=k，K>0

追问

tanA:tanB:tanC=-1:-2:-3,K<0

追答

题目中不是告诉是1:2:3了吗，是正值，如果题目中告诉比值有负值那么再重新考虑