求不定积分dx/x根号下(x^2-1)

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Dilraba学长
高粉答主

2019-05-07 · 听从你心 爱你所爱 无问西东
Dilraba学长
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解题过程如下图:

在微积分中,一个函数f 的不定积分,或原函数,或反导数,是一个导数等于f 的函数 F ,即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

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根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

性质

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和;即:设函数  及  的原函数存在。

2、求不定积分时,被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即:设函数  的原函数存在,  非零常数。

轩轩智慧先锋
高能答主

2019-07-09 · 希望是生命中的那束光,照亮我们的未来。
轩轩智慧先锋
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结果为:-arcsin(1/|x|)+C

解题过程如下:

设t=1/x

则dx=-dt/t^2

∴原式=∫1/[x(x^2-1)^(1/2)]dx

=-∫(dt/t^2)*t|t|/(1-t^2)

=-sgn(t)∫dt/(1-t^2)^(1/2)

=-sgn(x)arcsint+C

=-arcsin(1/|x|)+C

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求函数积分的方法:

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积,并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零,那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论,如果两个  上的可积函数f和g相比,f(几乎)总是小于等于g,那么f的(勒贝格)积分也小于等于g的(勒贝格)积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质,改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数,改变有限个点的取值,其积分不变。

对于勒贝格可积的函数,某个测度为0的集合上的函数值改变,不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同,那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A,可积函数f在A上的积分总等于(大于等于)可积函数g在A上的积分,那么f几乎处处等于(大于等于)g。

如果在闭区间[a,b]上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S,那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限S。

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轮看殊O
高粉答主

2019-05-07 · 说的都是干货,快来关注
知道大有可为答主
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令x=sint

原式=∫cost/(sint+cost) dt

=1/2 ∫(cost-sint)/(sint+cost) dt+1/2 ∫(cost+sint)/(sint+cost) dt

=1/2∫1/(sint+cost) d(sint+cost)+1/2∫dt

=1/2ln|sint+cost|+1/2t+c

t=arcsinx

cost=√1-x^2

所以

原式=1/2ln|x+√1-x^2|+1/2arcsinx+c

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不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

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fin3574
高粉答主

推荐于2017-12-16 · 你好啊,我是fin3574,請多多指教
fin3574
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都是正确的,原函数的表示不唯一

追问
你的意思是 原函数可以是不同的两个函数?!
追答
应该说原函数有无限个,因为有常数C
所以arcsin(1/x) + C
= π/2 - arccos(1/x) + C
= - arccos(1/x) + C',其中C' = C + π/2
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百度网友4b911fc
2013-03-31
知道答主
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答案应为arccos1/x+c,这与你书上的答案不矛盾,带入不同,它带的是csct,但你的x=sect=1/cost,故t=arccos1/x而不是arc1/cosx
追问
arccos1/x=-arcsin1/|x|吗?!
追答
不能说直接相等,x有范围的,是上面的带入不同得出最后答案不一样,但都是对的啊,数学分析书后有这类题的通解,建议你去看看,如果我没有记错是华师大上册的那本后面。
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