Question

在（1+x ）^3+ （1+x ）^4+ （1+x ）^5+……… （1+x ）^2012的展开式中

在（1+x ）^3+ （1+x ）^4+ （1+x ）^5+……… （1+x ）^2012的展开式中、X ^3d的系数是？
求过程

Answer 1

解：
考察数列：(1+x)^3、(1+x)^4、(1+x)^5、………、(1+x)^2012
可以看出，这是一个首项是(1+x)^3、公比是1+x的等比数列。其通项公式是an=(1+x)^(n+2)
(1+x)^2012项，是该数列的第2010项。
题目所给，就是求该数列前2010项的和。
已知等比数列前n项和的公式是：Sn=(a1)(1-q^n)/(1-q)
因此：
(1+x)^3+(1+x)^4+(1+x)^5+………+(1+x)^2012
=[(1+x)^3][1-(1+x)^2010]/[1-(1+x)]
=[(1+x)^3][1-(1+x)^2010]/(-x)
=(1+3x+3x^2+x^3)[1-(1+x)^2010]/(-x)
=[1-(1+x)^2010+3x-3x(1+x)^2010+3x^2-3(x^2)(1+x)^2010+x^3-(x^3)(1+x)^2010]/(-x)
=(x^2)(1+x)^2010+3x(1+x)^2010+3(1+x)^2010+[(1+x)^2010]/x-x^2-3x-3-1/x
只考虑上述各项中的x^3项：
①(x^2)(1+x)^2010项：三次项系数是：C(2010,1)=(2010!)/[(2010-1)!×(1!)]=2010
②3x(1+x)^2010项：三次项系数是：3C(2010,2)=3×(2010!)/[(2010-2)!×(2!)]=6057135
③3(1+x)^2010项：三次项系数是：3C(2010,3)=3×(2010!)/[(2010-3)!×(3!)]=4054242360
④[(1+x)^2010]/x项：三次项系数是：C(2010,4)=(2010!)/[(2010-4)!×(4!)]=678072034710
因此，所给多项式展开式中，x^3项的系数是：
2010+6057135+4054242360+678072034710=682132336215

追问

这么复杂、是高考考纲内的么？我是辽宁额

追答

我已经很多很多年没有关注过高考了。
楼主所提问题，是否高考考纲之内，鄙人不得而知。是否辽宁考纲之内，更是不知。

因鄙人才疏学浅，对楼主的问题，没能找到更简洁的解法。
但二项式定理、等比数列，应该是中学数学的内容。

Answer 2

由于原式中加入:(1+x)^0+(1+x)+(1+x)^2三项不影响x^3的系数.
故:可取
S=:(1+x)^0+(1+x)+(1+x)^2+（1+x ）^3+ （1+x ）^4+ （1+x ）^5+……… （1+x ）^2012
一共有2012-0+1=2013项:
S=1*[(1+x)^2013-1]/[x+1-1]
S=[(1+x)^2013-1]/x
只要求出:(1+x)^2013的x^4项的系数即可:
即:C(2013,4)=2013*2012*2011*2010/(1*2*3*4) = 682132336215 这就是x^3的系数!

Answer 3

2030113把

Answer 4

用组合数列去做