Question

2013年全国初中数学竞赛第14题

如果将正整数M放在正整数M左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）。求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，a3，……an中都至少有一个为m的魔术数。

Answer 1

14．解：若n≤6，取m  1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有1 2 n a，a，…，a
中的一个正整数 M 是i，j(1≤i＜ j ≤7 ) 的公共的魔术数，即 7|(10M i )，
7|(10M  j )．则有 7|( j i )，但 0＜ j i≤6，矛盾．
故n≥7．

又当1 2 n a，a，…，a 为 1，2，…，7 时，对任意一个正整数 m，设其为k 位
数（ k 为正整数）．则10ki m（i 1，2，…，7）被7 除的余数两两不同．若不然，
存在正整数i，j(1≤i＜ j≤7 )，满足 7|[(10 ) (10 )] k k j m  i m ，即7|10 ( ) k j i ，
从而7| ( j  i)，矛盾．
故必存在一个正整数i (1≤i ≤7 ) ，使得7|(10 ) ki m ，即i为 m 的魔术数．
所以，n 的最小值为7．