Question

已知：如图，△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．

（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连接AD，BC，点M为线段BC的中点，连接OM，请你猜想OM与AD的数量关系： （直接写出答案，不必证明）；
（2）如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．
①OM与AD的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；
②求证：OM⊥AD．

Answer 1

想想再说！
既然原题中是旋转，我们就以“以旋制旋”，过程如下：
证明：②将△ADO绕点O逆时针旋转90°后得到△B（A）OD′，分别连接OD′、BD′，∵∠DOD′=∠COD=90，∴C、O、D′三点共线，△BCD′中，∵ M为BC中点，O为CD′中点，故OM为△BCD′的中位线，∴OM=BD′/2=AD/2，
∵∠BAD=45°-∠OAD,∠ABD′=45°+∠OBD′, ∠OAD=∠OBD′∴∠BAD+∠ABD′=90°,即：AD⊥BD′，又OM//BD′（中位线定理），∴AD⊥OM

Answer 2

（1）1/2
(2) ①我认为是成立的，旋转后，AD增加为 D至D‘；而OM增加的为C至C’的二分之一。
②不会了 水平有限。