Question

梯形ABCD中,AB‖CD,且AB+CD=BC,M是AD中点求证BM⊥CM

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Answer 1

延长CD和BM交于E
∵AB∥CD(CE)
∴∠E=∠ABM
∠EDM=∠BAM
∵M是AD中点
∴AM=DM
∴△ABM≌△DEM(AAS)
∴DE=AB，EM=BM
∵CE=DE+CD
AB+CD=BC
∴CE=BC
∵CE=BC，CM=CM，EM=BM
∴△BCM≌△ECM(SSS)
∴∠CME=∠CMB
∵∠CME+∠CMB=180°
∴∠DMB=∠CME=90°
∴BM⊥CM
(如果学过等腰三角形CE=BC，可以由EM=BM得BM⊥CM）

Answer 2

解：延长BM交CD的延长线于点E．
∵AB∥CD，∴∠A=∠MDE（两直线平行，内错角相等）．
在△ABM和△DEM中，
∵∠A=∠MDE，AM=DM，∠AMB=DME，
∴△ABM≌△DEM（ASA）．
∴BM=EM，AB=DE（全等三角形的对应边相等）．
∵AB+CD=BC，
∴DE+DC=BC，即CE=CB．
∴CM⊥BM（等腰三角形底边中线也是底边上的高）．

Answer 3

证明：过点M作MN∥AB交BC于点N
∵M为AD的中点，∴MN是梯形ABCD的中位线
∴MN=1/2（AB+CD） ∵AB+CD=BC
MN=1/2BC
∴⊿BCM是直角三角形
∴BM⊥CM

Answer 4

证明：过点M做ME平行于CD交BC与点E，那么点E就是BC的中点
根据中位线定义，2ME=AB+CD=BC
由于直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，其逆定理也成立就是
三角形中，边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形就是直角三角形，
所以三角形BCM是直角三角形，其中角BMC是直角
所以BM垂直CM.