Question

请问泰勒公式中X一定要趋近于x0吗

Answer 1

泰勒公式中X不需要要趋近于x0，只要在区间【a，b】内的点都是成立的。

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。

一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

Answer 2

泰勒公式中X不需要要趋近于x0。
只要在区间【a，b】内的点都是成立的。

追问

可是泰勒公式的推导过程中用到了x0各阶导相等，如果x与x0隔得很远，那这条件就没用了

追答

你没有注意到他有个余项，分母是（n＋1）！，只要n趋向于∞，满足一定条件还是能保证余项趋向于0的。

追问

泰勒公式只能说明在x0处泰勒展开式各阶导数和F（x）各阶导数相等，如果x不趋近于x0，那不是不能用了吗

追答

F（x）=一个n次多项式＋一个余项
记住后面有个余项。
可以调节，保证所有的x的。未必是x0附近。