Question

求高手解答此题！！高数！！！

x=cos(t^2)
y=tcos(t^2)-∫(上限为t^2,下限为1)cosu/(2 u^1/2)du
t>0
求dy/dx,d^2y/dx^2
求过程和讲解！
y的式子中含有定积分，怎么求导？主要是这一步不会，求方法过程

Answer 1

解答：
dy/dx＝(dy/dt)/(dx/dt)
dy/dt＝cost²－2t²sint²－[(cost²)/(2t)]*2t＝－2t²sint².
dx/dt＝－2tsint²
∴dy/dx＝(－2t²sint²)/(－2tsint²)＝t.

d²y/dx²＝[d/dt*dy/dx]/(dx/dt)＝(d/dt*t)/(dy/dt)＝1/(dx/dt)＝1/(－2tsint²)＝－1/(2sint²)

疑难点拨：变上限积分求导法则！
比如题中的∫(1，t²)cosu/2√udu
求导步骤是：先将上限t²代替被积函数中的u，得cost²/2t，然后再乘以上限t²的导数即2t，得[cost²/2t]*2t＝cost².……①

像这种积分，如果下限也是一个函数，比如下限是t³，同样是将t³代替被积函数的变量，再乘以t³的导数，即3t²，得[cost³/2√t³]*3t²……②
最后①－②

用表达式来表达就是：
∫(ψ(x)，g(x))f（t）dt＝f（g(x)）*g'(x)－f（ψ(x)）*ψ'(x)

Answer 2

注意到，x是关于t的函数x(t)，y也是关于t的函数y(t)。因此，可以很容易求出dy/dt，dx/dt，后面的计算都基于这两个导数。
dy/dt=[tcos(t²)]'-[∫(上限为t²,下限为1)cosu/(2√u)du]'
= [cost²-2t²sint²]-[(cost²)/(2t)]*2t
= -2t²sint
dx/dt=-2tsint²

那么
dy/dx=dy/dt*dt/dx
= (dy/dt)/(dx/dt)
= (-2t²sint²)/(-2tsint²)
= t

d^2y/dx^2=(dy/dx)/dx
= (dy/dx)/dt*dt/dx
= [(dy/dx)/dt]/(dx/dt)
= 1/(dx/dt)
= 1/(-2tsint²)
= -1/(2sint²)

涉及定积分的求导方法
设ζ(t)=∫(上限为φ(t)，下限为1)ψ(u)du
则按照复合函数的求导法则，将ζ(t)看做是 x=φ(t) 与 ζ(x)=∫(上限为x，下限为1)ψ(u)du 的复合
ζ'(t)=φ'(t)*ψ[φ(t)]