Question

平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE垂直AC，DF垂直AC，垂足分别为E、F.求证OE=OF.

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Answer 1

证明:

如图,

∠BEO=90°=∠DFO

∠BOE=∠DOF

BO=DO

∴△BEO≌DFO [AAS]

∴OE=OF

Answer 2

根据平行四边形的对角线互相平分，得OD=OB
根据对顶角相等，得角AOD=角COB
根据垂直定义，得角DFO=角BEO
所以三角形ODF和三角形OBE全等
所以OE=OF

Answer 3

因BE垂直AC，DF垂直AC，
所以BE∥DF
又因DE∥FB
所以四边形BEDF是平行四边形，
因O是BD的中点，
所以O也是EF的中点，
所以OE＝OF

Answer 4

∵ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEO=∠DFO，
又∠BOE=∠DOF，
∴ΔBOE≌ΔDOF，
∴OE=OF。

Answer 5

因为角DOF=角BOE；角DFO=角BEO
所以三角形DOF与三角形BOE相似
所以OF:OE=OD:OB=1