Question

等差数列an的各项为正，其前n项和为Sn，且S3=9，又a1+2,a2+3,a3+7成等比数列，求数列{an}的通向公式

Answer 1

设等差数列an的公差为d
S3 = （a2-d） + a2 + （a2+d） = 3 a2
所以
3a2 =9
a2 = 3

又因为a1+2,a2+3,a3+7成等比数列

所以

(3-d)+2, 3+3, (3+d)+7成等比数列
即 5-d, 6, 10+d成等比数列

所以

(5-d)(10+d) = 6*6 = 36
50 -5d -d² =36
14 -5d -d² =0
即

d² +5d -14 =0

(d-2)(d+7) =0
因为公差为负无法保证an的各项为正

所以 d = 2

a1 = a2 -d = 3 -2 =1
数列{an}的通向公式 为:

an = 1+ 2(n-1) = 2n -1

Answer 2

∵a1+2,a2+3,a3+7成等比数列
∴(a1+2)(a1+2d+7)=(a1+d+3)²
整理得，6a1=d²+6d-5
又S3=3a1+3d=9，∴a1+d=3
∴d=8 a1=-5
∴a(n)=a1+8(n-1)=8n-13

Answer 3

由S3=9得a2=3，所以a1+a3=6！ 由题得a2+3为那三个的等比中项，所以(a2+3)的平方=(a1+2)(a3+7)，综上所得两个关于a1和a3，解出来就可以求通项了！