Question

初中几何有关圆的证明题

如图所示，过圆O外一点P做PA交圆O于A、B，PC交圆O于C、D，AD和BC交于点E，延长CA、DB交于点Q，求证QE垂直PO





Answer 1

首先先证明PE^2=OP^2+OE^2-2R^2

连接PE，过D点做∠PDF=∠AEQ，则F必落在PE延长线上【∵∠PDE=∠CBP<∠PEC（∠PEC是△PEB的外角）=∠ACE】

则△PCE∽△PFD（∠PDF=∠AEQ和公共角）

所以PE/PD=PC/PF ∠DFP=∠ECP

即PE*PF=PA*PC=OP^2-R^2(圆幂定理)     ①

而∠ECP=EAP（弦BD同旁相等圆周角的补角）

∴D，F，A，P四点共圆

∴EF*EP=EA*ED=R^2-OE^2               ②

①-②得：

PE*PF-EF*EP=PE*（PE+EF）-EF*EP=PE^2=OP^2+OE^2-2R^2

即PE^2=OP^2+OE^2-2R^2                ③

再证PQ^2=OP^2+OQ^2-2R^2

在PG上取一点G使得PCAG共圆（也可叙述成做△PCA的外接圆角PQ与点G则其四点共圆，A,G没连接，反正没用）

∴∠AGQ=∠PCA=∠PBD=180°-∠PBQ 

所以ABQG也共圆

于是中在⊙PCAG有QG*QP=QC*QD=OQ^2-R^2

      ⊙ABQG有PG*PQ=PC*PD=OP^2-R^2

上边两式相减：

PQ^2=OP^2+OQ^2-2R^2                  ④

③-④=PE^2-PQ^2=OE^2-OQ^2

所以EQ垂直PO

这其中用到了以下一个结论：

其实圆心O是三角形PEQ的垂心

Answer 2

建系，化一般为特殊