Question

在等边三角形ABC中，P为等边△ABC外一点，当PB=PC且∠BPC=120°时，点P的位置如图1，易证PB+PC=PA；

（1）当PB≠PC且∠BPC=120°时，点P的位置如图2，试猜想线段PB、PC、PA之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）当PB≠PC且∠APC=120°时，点P的位置如图3，试猜想线段PB、PC、PA之间的数量关系，并直接写出你的猜想不必证明

Answer 1

（1）PA=PB+PC
证明：在AP上截取PE=PB，连接BE
所以三角形BPE是等腰三角形
因为三角形ABC是等边三角形
所以AB=BC
角ABC=角BAC=角ACB=60度
因为角BPC=120度
所以角BAC+角BPC=180度
所以A.B.P.C四点共圆
所以角BAP=角BCP
角APB=角ACB
所以角APB=60度
所以三角形BPE是等边三角形
所以BE=BP=PE
角PBE=角CBE+角CBP=60度
因为角ABC=角ABE+角CBE=60度
所以角ABE=角CBP
所以三角形ABE和三角形CBP全等（ASA)
所以AE=PC
因为AP=AE+PE
所以AP=PB+PC
(2)PB=PA+PC
证明：在BP上截取PE=PA，连接AE
所以三角形APE是等腰三角形
因为三角形ABC是等边三角形
所以AB=AC
角BAC=角ABC=角ACB=60度
因为角APC=120度
所以角ABC+角APC=180度
所以点A,B,C,P四点共圆
所以角APB=角ACB
所以角APB=60度
所以三角形APE是等边三角形
所以AE=PE=AP
角PAE=角CAP+角CAE=60度
因为角BAC=角BAE+角CAE=60度
所以角BAE=角CAP
所以三角形BAE和三角形CAP全等（SAS)
所以BE=PC
因为PB=PE+BE
所以PB=PA+PC

Answer 2

(1)由题意可知ABPC四点共圆，所以∠APC=∠ABC=60°，

在PA上取PD=PC，所以△PCD是正三角形，

所以CD=CP，∠ACD=60°-∠BCD=∠BCP，又因为AC=BC，
所以△ACD≌△BCP，于是PB=DA，

这就得到了：PA=PD+DA=PC+PB。

(2)应该有:PB=PA+PC.证明同上.

追问

为什么4点在一个圆上啊？

追答

因为角A+角P=60+120=180度,所以说四点共圆.

追问

有这个判定定理吗。。。

http://zhidao.baidu.com/question/392923635.html

我找到了。非常感谢！

追答

圆内接四边形的判定定理1：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于一个圆。