Question

如图，BC是圆O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：AC是圆O的切线

Answer 1

∵BC是⊙O的直径 
∴，∠BDC=90° 
∵∠ADC=∠BDC=90°
∴，∠ADC=90° 
∵AE=CE即E为Rt△ADC斜边AC的中点 
∴，DE=CE 
∴，∠EDC=∠ECD 
∵DE切圆O于D 
∴∠EDC=∠DBC
∴∠ECD=∠DBC
∵∠DBC=∠DCB=90° 
即∠ECD=∠DCB=90° 
∴∠ACB=90º
∴AC是圆O的切线 

Answer 2

(1)
证明：
因为BC是圆O的直径
所以，∠BDC=90°(直径所对的圆周角是直角)
因为∠ADC ∠BDC=90°(平角定义)
所以，∠ADC=90°
因为AE=CE即E为Rt△ADC斜边AC的中点
所以，DE=CE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
所以，∠EDC=∠ECD(等边对等角)
因为DE切圆O于D
所以，∠EDC=∠DBC(弦切角定理)
所以，∠ECD=∠DBC(等量代换)
因为∠DBC ∠DCB=90°
即∠ECD ∠DCB=90°
所以，∠ACB=90°
所以，AC是圆O的切线(圆的切线判定定理)

(2)
解：由射影定理，得AD×AB=AC^2
因为AD÷DB=3÷2
所以，AD=1.5DB
所以，AB=AD DB=2.5DB
且AC=15
所以，1.5DB×2.5DB=225
所以，DB^2=60
所以，DB=2根号15
所以，AB=5根号15
所以，由勾股定理，得
BC=根号(AB^2-AC^2)=5根号6
即圆O的直径为5根号6

Answer 3

证明：因为链接CD
因为BC是圆O的直径
所以角BDC=90度
因为角ADC+角BDC=180度
所以角ADC=90度
因为切线DE平分AC于E
所以角CDE=角B
点E是AC的中点
所以DE是直角三角形ADC的中线
所以DE=CE
所以角CDM=角DCE
所以角DCE=角B
因为角B+角BCD+角BDC=180度
所以角DCE+角BCD=90度
因为角BCD+角DCE=角ACB
所以角ACB=90度
因为BC是圆O的直径
所以AC是圆O的切线

Answer 4

证明：
∵BC是⊙O的直径
∴，∠BDC=90°
∵∠ADC=∠BDC=90°
∴，∠ADC=90°
∵AE=CE即E为Rt△ADC斜边AC的中点
∴，DE=CE
∴，∠EDC=∠ECD
∵DE切圆O于D
∴∠EDC=∠DBC
∴∠ECD=∠DBC
∵∠DBC=∠DCB=90°
即∠ECD=∠DCB=90°
∴∠ACB=90�0�2
∴AC是圆O的切线