Question

奥赛题：已知有理数a,b,c,满足a+b+c=0,abc=8则a分之一加b分之一加c分之一的结果为

这是一道选择题，A正数 B 0 C负数 D不正确 我知道答案为0 但不知道为啥 能帮我写出详细步骤吗?

Answer 1

答案应为 C负数
因为1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/abc
又因为abc=8>0 ，所以只需证明ab+bc+ac<0即可
由a+b+c=0得 （a+b+c）^2=0
即 a*a+b*b+b*b+2ab+2bc+2ac=0
因为abc=8，所以a、b、c不全为0
所以a*a+b*b+c*c>0
即2ab+2ac+2bc<0
即ab+bc+ac<0
所以1/a+1/b+1/c＜0

Answer 2

a+b+c=0 a=-(b+c)
abc=8 a，b，c均≠0
a=8/(bc)
-(b+c)=8/(bc)
(b+c)bc=-8

1/a+1/b+1/c=1/b +1/c -1/(b+c)
=(b+c)/(bc)- 1/(b+c)
=[(b+c)²-bc]/[(b+c)bc]
=(b²+2bc+c²-bc)/(-8)
=-(b²+bc+c²)/8
=-[(b+ c/2)²+3c²/4]/8
平方项恒非负，又c≠0，因此(b+c/2)²+3c²/4>0
-[(b+c/2)²+3c²/4]/8<0
1/a+1/b+1/c<0，为负数，选C。

做题目不能靠猜答案，你的结论是错的。结果应该是负数。

Answer 3

a+b=-c
ab=8/c
所以
c^2-32/c>=0
即c<0或c>=2^(5/3)
1/a+1/b+1/c=(a+b)/(ab)+1/c
=(-c)c/8+1/c
=(8-c^3)/8c
当c<0时，8-c^3>0，所以1/a+1/b+1/c<0
当c>=2^(5/3)时，8-c^3<0，所以1/a+1/b+1/c<0
综合起来就是1/a+1/b+1/c<0