Question

设An是首项为1的正项数列，且（N+1）An+1^2-NAn^2+An+1*An=0,则它的通项公式An=?

A后面的是n+1和n是下标

Answer 1

答：
(n+1)A(n+1)²-nAn²+A(n+1)An=0
得：n(A(n+1)²-An²)+A(n+1)(A(n+1)+An)=0
因式分解整理：n(A(n+1)+An)(A(n+1)-An)+A(n+1)(A(n+1)+An)=0
即：(A(n+1)+An)(n(A(n+1)-An)+A(n+1))=0
因为{An}为正项数列，所以An>0
所以A(n+1)+An>0，即n(A(n+1)-An)+A(n+1)=0
化简有：(n+1)A(n+1)=nAn
即A(n+1)/An=n/(n+1)
因为A1=1，所以：
A2/A1=1/2；A3/A2=2/3；A4/A3=3/4；…；An/A(n-1)=(n-1)/n
累成得：
An/A1=1/n
即An=1/n

Answer 2

解：
(n+1)a(n+1)²-nan²+ana(n+1)=0
[a(n+1)+an][(n+1)a(n+1) -nan]=0
数列各项均为正，a(n+1)+an>0，要等式成立，只有(n+1)a(n+1)-nan=0
(n+1)a(n+1)=nan
1×a1=1×1=1
数列{nan}是各项均为1的常数数列。
nan=1
an=1/n
数列{an}的通项公式为an=1/n。

Answer 3

bn= An+1 / An >0
(n+1)bn-n/bn+1=0
bn= An+1 / An =n/n+1
an/a1=[(n-1)(n-2)*...*2*1]/[n(n-1)*...*3*2]=1/n
an=1/n

Answer 4

解：∵(n+1)a[n+1]^2-na[n]^2+a[n+1]a[n]=0
∴{(n+1)a[n+1]-na[n]}{a[n+1]+a[n]}=0
∴(n+1)a[n+1]-na[n]=0 或者 a[n+1]+a[n]=0
∵{a[n]}是首项为1的正项数列
∴a[n+1]+a[n]=0，即公比是-1，舍去

∴a[n+1]/a[n]=n/(n+1)
a[n]/a[n-1]=(n-1)/n
......
a[3]/a[2]=2/3
a[2]/a[1]=1/2
将上面各式累乘，得：(第一式不参与)
a[n]=1/n

Answer 5

（N+1）An+1^2-NAn^2+An+1*An=0方程两边同除以An^2得到（N+1)(An+1/An)^2-N+An+1/An=0把An+1/An看作一个整体 设为X（N+1)(x)^2-N+x=0x= -1 (舍去） x=n/n+1An+1/An=n/n+1An+1=An*n/n+1An=An-1*(n-1)/n=An-2*(n-2)/(n-1)**(n-1)/n=……=A1*A2*……*(n-1)/n=1/n所以它的通项公式An=1/n