Question

关于多元函数极限的问题

老师上课时讲必须沿各个方向趋近于该点，极限值存在且都相等。我想问个问题：求（0,0）的极限，我设y=kx（k≠0），x趋近于0；然后再取x=0，y趋近于0（沿y轴方向趋近）；再加y=0，x趋近于0（沿x轴方向趋近）。如果k取任意值，极限都存在，而且沿x轴和y轴的趋近方式极限也存在，且三者极限均相等，那么为什么不能说（0,0）连续？我个人认为以上3种情况包含了所有方向上的趋近，但是在做题时发现以上三者极限均相等，但（0,0）极限不存在的情况，解题过程中给出了y=kx²的趋近方向，来否定极限不存在。
这令我十分不明白，y=kx（k为任意非零实数），x轴和y轴3者可以决定任意方向，满足沿各个方向趋近于（0,0），极限值存在且都相等的条件了，为什么（0,0）的极限还是不存在？求高手解释这其中包含着的秘密。
要看最原始的定义，ε-σ语言啊，书上哪有以任何途径趋近这样的定义。定义是最基础的，唯一的，要么你能说明“以任何途径趋近”于定义是充分必要关系，并且“以任意方向趋近”只能包含定义的一部分情况，否则，我搞不懂。

Answer 1

其实你自己已经回答了你的问题了，呵呵，“沿各个方向趋近于该点”这种说法不太准确，应该说是沿任一途径，或说沿任一曲线，你的理解里只要y=kx（k为任意非零实数），x轴和y轴3者可以决定任意方向，但它们都是沿直线趋于该点的，沿曲线的情况是不知道的，就像沿y=x²趋于原点，我估计你把它理解为沿x轴方向（即曲线在原点的切线方向）了吧，不能这样理解的，你做的那个题就是反例，有不明白的欢迎追问。

追问

确实不明白。沿曲线趋近，总也有方向，可以看做切线方向。再说了，原始的定义并没有说以任意路径趋近，这里我感觉省略了充要性的证明。

追答

书上的定义就是说以任何途径趋近（而不是以任意方向）呀，切线方向一致也不一定没有区别吧，至少还有个趋于0速度快慢的问题呢。