关于多元函数极限的问题

老师上课时讲必须沿各个方向趋近于该点,极限值存在且都相等。我想问个问题:求(0,0)的极限,我设y=kx(k≠0),x趋近于0;然后再取x=0,y趋近于0(沿y轴方向趋近... 老师上课时讲必须沿各个方向趋近于该点,极限值存在且都相等。我想问个问题:求(0,0)的极限,我设y=kx(k≠0),x趋近于0;然后再取x=0,y趋近于0(沿y轴方向趋近);再加y=0,x趋近于0(沿x轴方向趋近)。如果k取任意值,极限都存在,而且沿x轴和y轴的趋近方式极限也存在,且三者极限均相等,那么为什么不能说(0,0)连续?我个人认为以上3种情况包含了所有方向上的趋近,但是在做题时发现以上三者极限均相等,但(0,0)极限不存在的情况,解题过程中给出了y=kx²的趋近方向,来否定极限不存在。
这令我十分不明白,y=kx(k为任意非零实数),x轴和y轴3者可以决定任意方向,满足沿各个方向趋近于(0,0),极限值存在且都相等的条件了,为什么(0,0)的极限还是不存在?求高手解释这其中包含着的秘密。
要看最原始的定义,ε-σ语言啊,书上哪有以任何途径趋近这样的定义。定义是最基础的,唯一的,要么你能说明“以任何途径趋近”于定义是充分必要关系,并且“以任意方向趋近”只能包含定义的一部分情况,否则,我搞不懂。
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 我来答
一笑而过jLNJ1
高粉答主

2013-04-01 · 每个回答都超有意思的
知道大有可为答主
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其实你自己已经回答了你的问题了,呵呵,“沿各个方向趋近于该点”这种说法不太准确,应该说是沿任一途径,或说沿任一曲线,你的理解里只要y=kx(k为任意非零实数),x轴和y轴3者可以决定任意方向,但它们都是沿直线趋于该点的,沿曲线的情况是不知道的,就像沿y=x²趋于原点,我估计你把它理解为沿x轴方向(即曲线在原点的切线方向)了吧,不能这样理解的,你做的那个题就是反例,有不明白的欢迎追问。
追问
确实不明白。沿曲线趋近,总也有方向,可以看做切线方向。再说了,原始的定义并没有说以任意路径趋近,这里我感觉省略了充要性的证明。
追答
书上的定义就是说以任何途径趋近(而不是以任意方向)呀,切线方向一致也不一定没有区别吧,至少还有个趋于0速度快慢的问题呢。
Sievers分析仪
2024-10-13 广告
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