设函数f(x)=|2x-1|-|x-3| (1)解不等式f(x)>=4 (2)求函数y=f(x)的最小值
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(1)f(x)>4 → |2x-1|-|x-3|≥4
①若 x<1/2,|2x-1|-|x-3|≥4 → 1-2x-3+x≥4 → x≤-6,∴ x≤-6;
②若 1/2≤x<3,|2x-1|-|x-3|≥4 → 2x-1-3+x≥4 → x≤8/3,∴ 1/2≤x≤8/3;
③若 x≥3,|2x-1|-|x-3|≥4 → 2x-1-x+3≥4 → x≥2,∴ x≥3;
f(x)>4的解集:(-∞,-6]∪[1/2,8/3]∪[3,+∞);
(2)
①若 x<1/2,f(x)=|2x-1|-|x-3| → f(x)=1-2x-3+x → f(x)=-2-x,f(x)>-2-(1/2)=-5/2;
②若 1/2≤x<3,f(x)=|2x-1|-|x-3| → f(x)=2x-1-3+x → f(x)=3x-4≥3*(1/2)-4=-5/2;
③若 x≥3,f(x)=|2x-1|-|x-3| → f(x)=2x-1-x+3≥4 → f(x)=x+2≥3+2=5;
由上可知,f(x) 的最小值是 -5/2;
①若 x<1/2,|2x-1|-|x-3|≥4 → 1-2x-3+x≥4 → x≤-6,∴ x≤-6;
②若 1/2≤x<3,|2x-1|-|x-3|≥4 → 2x-1-3+x≥4 → x≤8/3,∴ 1/2≤x≤8/3;
③若 x≥3,|2x-1|-|x-3|≥4 → 2x-1-x+3≥4 → x≥2,∴ x≥3;
f(x)>4的解集:(-∞,-6]∪[1/2,8/3]∪[3,+∞);
(2)
①若 x<1/2,f(x)=|2x-1|-|x-3| → f(x)=1-2x-3+x → f(x)=-2-x,f(x)>-2-(1/2)=-5/2;
②若 1/2≤x<3,f(x)=|2x-1|-|x-3| → f(x)=2x-1-3+x → f(x)=3x-4≥3*(1/2)-4=-5/2;
③若 x≥3,f(x)=|2x-1|-|x-3| → f(x)=2x-1-x+3≥4 → f(x)=x+2≥3+2=5;
由上可知,f(x) 的最小值是 -5/2;
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解:当x≥3时,f(x)=2x-1-(x-3)=x+2
当1/2<x<3时,f(x)=2x-1+x-3=3x-4
当x≤1/2时,f(x)=-(2x-1)+x-3=-x-2
(1)当x≥3时,要使f(x)≥4,则有x+2≥4,即x≥2
∴x≥3
当1/2<x<3时,要使f(x)≥4,则有3x-4≥4,即x≥8/3
∴8/3≤x<3
当x≤1/2时,要使f(x)≥4,则有-x-2≥4,即x≤-6
∴x≤-6
不等式f(x)≥4的解集为{x|x≤-6,或8/3≤x}
(2)当x≥3时,f(x)≥5
当1/2<x<3时,-5/2<f(x)<5
当x≤1/2时,f(x)≥-5/2
∴函数f(x)的最小值为-5/2
当1/2<x<3时,f(x)=2x-1+x-3=3x-4
当x≤1/2时,f(x)=-(2x-1)+x-3=-x-2
(1)当x≥3时,要使f(x)≥4,则有x+2≥4,即x≥2
∴x≥3
当1/2<x<3时,要使f(x)≥4,则有3x-4≥4,即x≥8/3
∴8/3≤x<3
当x≤1/2时,要使f(x)≥4,则有-x-2≥4,即x≤-6
∴x≤-6
不等式f(x)≥4的解集为{x|x≤-6,或8/3≤x}
(2)当x≥3时,f(x)≥5
当1/2<x<3时,-5/2<f(x)<5
当x≤1/2时,f(x)≥-5/2
∴函数f(x)的最小值为-5/2
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