Question

已知 AD为三角形ABC的中线，DE平分角BDA交AB于E，DF平分角ADC交AC于F。 求证：BE+CF大于EF

</img>

Answer 1

证明：延长AD至点G，使AD=GD，连接BG，延长FD交BG于点H，连接EH。
易证△BDG≌△CDA(SAS)，所以∠DBG=∠DCA，所以△CDF≌△BDH(ASA)，则CF=BH，DF=DH。
因为 2∠EDA+2∠FDA=180°，所以∠EDA+∠FDA=90°=∠EFD，所以△DEF≌△DEH(SAS),则
EH=EF。在△BEH中，BE+BH＞EH，即BE+CF＞EF。

Answer 2

延长FD到G，使DG=FD，连接BG、EG；
则�DBG��DCF，
所以 BG=CF
由 BE+BG�EG
知 BE+CF�EG；
又因 �EDF=�EDA+�FDA=（1/2）（�BDA+�CDA）=（1/2）*180�=90�，
知 ED为�EGF的中线和高，
所以 �EGF为等腰三角形，EG=EF，
故有 BE+CF�EF.

Answer 3

证明：在AD边上做DM等于BD，易证BE=EM；CF=FM；由三角形两边之和大于第三边知EM+FM>EF；所以BE+CF大于EF

Answer 4

延长AD到A1，使DA1=DA，延长FD交BA1于F1，则EF=EF1，BF1=CF，两边和大于第三边