Question

已知数列{An}的前n项和为Sn,A2=4且满足2Sn=n(An+1) 求证：数列{An}是等差数列

Answer 1

因为2Sn=an^2+n-4，所以2S（n-1）=a（n-1）²+n-1-4.两式相减2an=an^2-a（n-1）²+1，a（n-1）²=an^2-2an+1=（an-1）²因为各项都是正数，所以a （n-1）=a n - 1。令n=1, 2a1=a1²+1-4，a1=3.所以{an}是以a1=3为首项，d=1为公差的等差数列。an=n+2.

Answer 2

2Sn＝n(An＋1)…(1)，2S(n－1)＝(n－1)[A(n－1)＋1]…(2)，(1)－(2)得：2An＝nAn－(n－1)A(n－1)＋1，即(n－2)An－(n－1)A(n－1)＋1＝0…(3)。用n代替(3)中的n－1，得：(n－1)A(n＋1)－nAn＋1＝0…(4)，(3)－(4)得：(n－1)A(n＋1)－2(n－1)An－(n－1)A(n－1)＝0，即A(n＋1)＋A(n－1)＝2An。