Question

设函数f（x）＝-1/3x3+x2+（m2-1）x（x∈R），其中m＞0

设函数f（x）＝-1/3x3+x2+（m2-1）x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

f（x）＝-1/3x^3+x^2+（m^2-1）x

f'(x)=-x^2+2x+m^2-1
(1) 斜率 k=f'(1)=1
(2) 令 f'(x)=0 x=1±m 因为m>0 1+m>1-m
故函数f（x）的单调增区间 （1-m, 1+m) 单调减区间为 （-∞，1-m), (1+m, +∞）

Answer 2

1. The slope is f'(1)=1.
2. f'(x)=-x^2+2x+(m^2-1). Solving f'(x)=0 we get x=1+m or x=1-m. Since m>0, we have 1+m>1-m. On the other hand, f(-infinity)=infinity and f(infinity)=-infinity. So f has three mononic intervals: f is decreasing in the interval (-infinity, 1-m], increasing in the interval [1-m,1+m], and decreasing in the inteval [1+m,infinity).