Question

求二重积分∫∫（1-（x^2+y^2））dxdy,其中D为x^2+y^2<=2ay

Answer 1

∫∫（1-（x^2+y^2））dxdy=∫∫dxdy-∫∫（x^2+y^2)dxdy
第2个积分用极坐标：
∫∫r^3drdθ
=∫(0,π)dθ∫(0,2asinθ)r^3dr
=∫(0,π)[4a^4(sinθ)^4]dθ
=8a^4∫(0,π/2)[(sinθ)^4]dθ
=8a^4(3/4)(1/2)(π/2)=3πa^4/2
原积分=πa^2-3πa^4/2

追问

sin^4 积分是怎么积分出来的 积分出来是什么

Answer 2

追问

为什么 π 成2/ π sin^4x 积分是多少

追答

θ区域对称，将π分开2半

∫(0→π/2) sin⁴x dx = 3!!/4!! * π/2 = (3 * 1)/(4 * 2) * π/2

A(n) = ∫ sinⁿx dx = ∫ sinⁿ⁻¹x d(- cosx)，下限0上限π/2
= - cosxsinⁿ⁻¹x + ∫ cosx(n - 1)sinⁿ⁻²xcosx dx
= (n - 1)∫ sinⁿ⁻²x(1 - sin²x) dx
= (n - 1)A(n - 2) - (n - 1)A
nA(n) = (n - 1)A(n - 2)
A(n) = (n - 1)/n * A(n - 2)
= (n - 1)/n * (n - 3)/(n - 2) * A(n - 4)
= (n - 1)/n * (n - 3)/(n - 2) * (n - 5)/(n - 4) * A(n - 6)
= ...
当n为奇数时
A(n) = [(n - 1)(n - 3)(n - 5) ... 4 * 2]/[n(n - 2)(n - 4) ... 3 * 1] = (n - 1)!!/n!!
当n为偶数时
A(n) = [(n - 1)(n - 3)(n - 5) ... 3 * 1]/[n(n - 2)(n - 4) ... 4 * 2] * π/2 = (n - 1)!!/n!! * π/2

追问

前面多个2是什么意思

追答

没看见区间的变化吗？

原本是0到π的，后来变成两倍的0到π/2

因为1 - (x² + y²)关于y轴对称，所以区间可变为两倍，省去不少麻烦的

∫∫(D) [1 - (x² + y²)] dxdy

= ∫∫(D) dxdy + ∫∫(D) (x² + y²) dxdy

∫∫(D) dxdy就是D的面积，当然关于y轴对称

而∫∫(D) (x² + y²) dxdy，被积函数x² + y²是关于y轴对称

所以对称是基于D的范围