如图，△ABC内接于圆O, AD是圆O的直径，E是CB延长线上的一点，角BAE=角C，求证，直线AE是圆O的切线。
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连接CD
∵AD是圆的直径
∴∠ACD=90°
∵∠BCD=∠BAD(同弧上的圆周角相等）
∠ACB=∠BAE
∴∠BAE+∠BAD=∠ACB+∠BCD=∠ACD=90°
即∠EAD=90°
∴OA⊥AE
∴AE是圆O的切线
∵AD是圆的直径
∴∠ACD=90°
∵∠BCD=∠BAD(同弧上的圆周角相等）
∠ACB=∠BAE
∴∠BAE+∠BAD=∠ACB+∠BCD=∠ACD=90°
即∠EAD=90°
∴OA⊥AE
∴AE是圆O的切线
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连接BD
∴∠C=∠D
∵AD是直径
∴∠ABD=90°
∴在Rt△ABD中：
∠BAD+∠D=90°
∵∠BAE=∠C=∠D
∴∠BAE+∠BAD=90°
∴∠EAD=90°
即OA⊥AE
∴AE是圆O的切线
∴∠C=∠D
∵AD是直径
∴∠ABD=90°
∴在Rt△ABD中：
∠BAD+∠D=90°
∵∠BAE=∠C=∠D
∴∠BAE+∠BAD=90°
∴∠EAD=90°
即OA⊥AE
∴AE是圆O的切线
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