Question

求函数f(x)=sin2x+sinx+cosx的最大值

Answer 1

f(x)=sin2x+sinx+cosx
=2sinxcosx+sinx+cosx
=(1+2sinxcosx)+sinx+cosx-1
=(sinx+cosx)²+(sinx+cosx)-1
=t²+t-1 令t=sinx+cosx
=y(t)
则f(x)的最大值即为抛物线y(t)=t²+t-1的最大值
因t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
∴t的取值范围为t∈[-√2,√2]
而抛物线y=t²+t-1=(t+1/2)²-3/4，对称轴为t=-1/2，开口向上
∴在t∈[-√2,√2]上，y(t)在t=-1/2处取得最小值，在t=√2处取得最大值
∴f(x)的最大值为y(√2)=2+√2-1=1+√2

Answer 2

f(x)=sin2x+sinx+cosx
=2sinxcosx+sinx+cosx
加个1再减个1
=1+2sinxcosx+sinx+cosx-1
1写成(sinx)^2+(cosx)^2
原式=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx+sinx+cosx-1
=(sinx+cos)^2+sinx+cosx-1
sinx+cosx=根号2倍sin（x+π/4）有最大值根号2，最小值负根号2
上式设sinx+cosx=t
原式转化为f（t）=t^2+t-1在负根号2到根号2的最值
对称轴t=-1/2
所以在负根号2到-1/2为减函数
-1/2到根号2为增函数
所以在根号2处取最大值
f(x)=sin2x+sinx+cosx的最大值为f（根号2）=（根号2）^2+（根号2）-1=1+根号2