Question

已知等轴双曲线C:x^2-y^2=a^2（a>0)的右焦点F，O为坐标原点。过F作一条渐近线的垂线

已知等轴双曲线C:x^2-y^2=a^2（a>0)的右焦点F，O为坐标原点。过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P，OP长为√2
(1)求等轴双曲线C的方程
（2）假设过点F且方向向量为d=（1，2）的直线l交双曲线C于A,B两点，求OA和OB的模长之积

Answer 1

　　解；(1)由双曲线定义得渐近线方程Y=(b/a)X

　　           因为  为等轴双曲线    所以b=a

　　          所以渐近线方程为Y=X

　　          设F（c，0）    据点F（c，0）到线X-Y=0的距离公式得d1=c/(根号2）

　　        据题意，画图可得  角OPF=90度    OF=c    OP=根号2

　　          所以勾股定理可得   OP平方+PF平方=OF平方

　　           即2+c平方/2  =c平方       所以c平方=4             因为c平方=a平方+b平方=2a平方

　　          所以a平方=2           所以此等轴双曲线表达式为；    X平方--Y平方=2

 

　　（2）由(1）得F(2,0)   设过F点的线上一点为E（x，y）

　　        因为过点F且方向向量为d=（1，2），       所以E（3，2）

　　        所以过点F且方向向量为d=（1，2）的直线l为   y=2x--4

 

　　        X平方--Y平方=2   。。。。[1]                             y=2x--4。。。。[2]

　　        将直线l[2]与等轴双曲线方程[1]联立得                设A（x1,y1)   B(x2,y2)

　　       3（x平方）--16x+18=0      x1=（8+根号10）/3         x2=（8--根号10）/3 

　　      3（y平方）--8x--8=0          y1=（4+2根号10）/3         y2=（4--2根号10）/3 

　　     所以OA  =根号【（130+32根号10）/9】    OB=根号【（130--32根号10）/9】 

　　          求OA和OB的模长之积  ( OA)乘以（OB)=（2根号1665）/3

 

• 以上为本人见解，如有错误之处，很乐意接受你的指正，可能会有点复杂，但如有较简便的方法，希望大家教一教，谢谢。