Question

如图，在正方形ABCD中，P为BC边上一点，Q为CD边上一点，如果PQ= ＢＰ＋ＤＱ，求∠PAQ？

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Answer 1

若BP=BQ，则AC⊥PQ，交PQ与点E且平分PQ，∵PQ=BP+DQ

∴BP=PE=EQ=BQ，对于△ABP和△AEP，∠AEP=∠ABP，又EP=BP，AP=AP，得△ABP全等于△ABP。

所以∠CAP=∠BAP，同理∠DAQ=∠CAQ。所以∠PAQ=∠QAC+∠PAC=½∠DAB=45°。

判定定理

1：对角线相等的菱形是正方形。

2：有一个角为直角的菱形是正方形。

3：对角线互相垂直的矩形是正方形。

4：一组邻边相等的矩形是正方形。

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

Answer 2

如图，若BP=BQ，则AC⊥PQ，交PQ与点E且平分PQ，∵PQ=BP+DQ,∴BP=PE=EQ=BQ，对于△ABP和△AEP，∠AEP=∠ABP，又EP=BP，AP=AP，得△ABP全等于△ABP，所以∠CAP=∠BAP，同理∠DAQ=∠CAQ。所以∠PAQ=∠QAC+∠PAC=½∠DAB=45°。

Answer 3

以A为中心旋转△ABP到△ADE的位置

则EQ=PQ

AQ=AQ

AE=AP

∴△AEQ≌△APQ

∴∠2+∠3=∠4

即∠1+∠3=∠4

∴∠4=45°

Answer 4

解：
设正方形ABCD边长为1，BP=a，DQ=b，
则PQ=a+b，0≤a≤1，0≤b≤1
∴PC的平方+QC的平方=PQ的平方
（1-a）的平方+（1-b）的平方=（a+b）的平方
（1+a）×（1+b）=2
∵0≤a≤1，0≤b≤1
所以a=1，b=0或a=0或b=1
所以∠PAQ=90°或∠PAQ=45°