Question

∫xarcsinx/根号1+x^2dx，求秒杀

我想到的方法是把x/根号下（1+x^2)放到d后面 变成1/2∫arcsinxdarcsinx^2，这样子对吗

Answer 1

你题目是不是写错了？？那个根号里的应该是减号吧？
是减号的话就可以这么用，arcsinx的导数是1/√(1 - x²)，但这个积分不是先进行这一步
∫ xarcsinx/√(1 - x²) dx
= ∫ arcsinx/√(1 - x²) d(x²/2)，而是先把x凑上去
= (- 1/2)∫ arcsinx/√(1 - x²) d(1 - x²)
= - 1∫ arcsinx d√(1 - x²)，再把√(1 - x²)搬上来
= - √(1 - x²)arcsinx + ∫ √(1 - x²) d(arcsinx)
= - √(1 - x²)arcsinx + ∫ √(1 - x²) * 1/√(1 - x²) dx
= - √(1 - x²)arcsinx + ∫ dx
= - √(1 - x²)arcsinx + x + C

因为如果你先进行∫ xarcsinx d(arcsinx) = (1/2)∫ x d(arcsinx)²
下一步就会出现∫ (arcsinx)² dx，这个不是更难处理吗？